Γιατί συμφέρει να μετράμε την μάζα σε μέτρα και όχι σε χιλιόγραμμα

Σε έναν μονόλογό του στην ταινία «Anything Εlse», ο Woody Allen απορρίπτει την έννοια του χωροχρόνου γιατί δεν είναι δυνατόν - σύμφωνα με τα λεγόμενά του - να ρωτάει κάποιον πόσο χρόνο διαρκεί ένα γεγονός κι αυτός να του απαντάει έξι μίλια ! Προφανώς θα γινόταν έξαλλος αν ήξερε ότι οι Φυσικοί πολλές φορές  μετράνε και την μάζα σε μίλια και όχι σε χιλιόγραμμα !!
Στη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας^* είναι βολικό να χρησιμοποιούμε ένα σύστημα μονάδων στο οποίο η σταθερά στης παγκόσμιας έλξης G=6,67x10^‒11 kg•m³•s^‒2 και η ταχύτητα του φωτός c=3•10⁸ m/s, θεωρούνται αδιάστατα μεγέθη και είναι ίσα με τη μονάδα G=c=1
Έτσι προκύπτουν οι λεγόμενες γεωμετροποιημένες μονάδες. Στο σύστημα αυτό όλες οι φυσικές ποσότητες αποκτούν διαστάσεις [μήκος] ⁿ, όπως για παράδειγμα η μάζα που μετρείται σε μέτρα!!
Ο παράγοντας μετατροπής από μονάδες του S.I. στις νέες γεωμετροποιημένες μονάδες είναι ο

Για να μετατρέψουμε τα kg του S.I. σε m του νέου συστήματος έχουμε

Τίθεται το ερώτημα: εκτός από την απλοποίηση στην μορφή των εξισώσεων που προσφέρει το γεωμετροποιημένο σύστημα μονάδων, πλεονεκτεί σε κάτι άλλο ως προς τα άλλα συστήματα μονάδων;
Για παράδειγμα συμφέρει να μετράμε τη μάζα σε χιλιόγραμμα ή σε μέτρα;
Η μάζα της Γης προσδιορίζεται μέσω της μελέτης τροχιών δορυφόρων και της εφαρμογής των νόμων του Kepler. Με τον τρόπο αυτό μετράται το Νευτώνειο δυναμικό, στο οποίο υπεισέρχεται το γινόμενο GM, δηλαδή c² φορές η τιμή της γεωμετροποιημένης μάζας.
Καθώς η θέση ενός δορυφόρου προσδιορίζεται μέσω ακτίνων Laser με μεγάλη ακρίβεια και η ταχύτητα του φωτός είναι επίσης γνωστή με πολύ μεγάλη ακρίβεια, μπορούμε να προσδιορίσουμε την μάζα της Γης σε γεωμετροποιημένες με ακρίβεια 5:10⁸.
Ωστόσο, η τιμή του G προσδιορίζεται με πειράματα στο εργαστήριο με σφάλμα 5:10⁴, οπότε και ο παράγοντας μετατροπής G/ c² θα έχει αυτό το σφάλμα (και λίγο μεγαλύτερο λαμβάνοντας υπόψιν και το σφάλμα στην ταχύτητα του φωτός).
Έτσι, η μάζα της Γης στο S.I. θα εμφανίζει σφάλμα τουλάχιστον 5:10⁴, 4 τάξεις μεγέθους μεγαλύτερο από το σφάλμα που εμφανίζει στις γεωμετροποιημένες μονάδες. Συνεπώς πράγματι συμφέρει να μετράμε την μάζα σε μέτρα!!
(*) Γενική Σχετικότητα, Bernard F. Schutz, εκδόσεις Κωσταράκη, 1994