11/9/11

Η ατέρμονη επανάληψη του αρμονικού ταλαντωτή

Ταλαντώσεις με σώματα δεμένα σε ελατήρια στο γυμνάσιο, το ίδιο και στο λύκειο και ξανά πάλι το ίδιο στα πανεπιστήμια θετικών σχολών (εκεί εμφανίζονται επιπλέον και οι κβαντικοί αρμονικοί ταλαντωτές).
Γιατί άραγε οι αρμονικές ταλαντώσεις είναι τόσο σημαντικές στην διδασκαλία της φυσικής;
Ένας από τους κυριότερους λόγους που κάνει το κεφάλαιο των ταλαντώσεων τόσο σημαντικό στη φυσική είναι ο εξής: η απλή αρμονική ταλάντωση αποτελεί την προσέγγιση 1ης τάξης για οποιαδήποτε κίνηση σώματος γύρω από μια θέση ευσταθούς ισορροπίας.
Έστω ότι μελετάμε την συμπεριφορά ενός σωματιδίου μάζας m που κινείται υπό την επίδραση τυχούσας δύναμης F(x), που όμως τείνει να το επαναφέρει σε μια θέση ευσταθούς ισορροπίας (θεωρούμε την κίνηση πάνω στον άξονα χ).
Μπορούμε να έχουμε άμεσα μια χονδρική εικόνα της κίνησής του;
Η απάντηση είναι καταφατική: η κίνηση του σώματος είναι περίπου σαν την αρμονική ταλάντωση.
Ιδού γιατί ο ισχυρισμός αυτός αληθεύει....
 ....Ορίζοντας την θέση x=0, ως θέση ισορροπίας, τότε αναπτύσσοντας τη δύναμη σε σειρά Taylor γύρω από το σημείο x=0, έχουμε

Αν θεωρήσουμε «μικρές» κινήσεις γύρω από τη θέση ισορροπίας, δηλ. x→0, τότε μπορούμε να γράψουμε
x2=x3= ... =0
(όταν ένας αριθμός μικρότερος της μονάδας υψώνεται π.χ. στο τετράγωνο γίνεται ακόμη πιο μικρός). Έτσι η τυχούσα δύναμη προσεγγίζεται ως
 Αν το σημείο x=0 είναι θέση ευσταθούς ισορροπίας, τότε θέτοντας F(0)=0 και F'(0)=-D
Η εξίσωση αυτή αποτελεί την αναγκαία και ικανή συνθήκη ώστε ένα σώμα να εκτελέσει απλή αρμονική.
ΠΗΓΗ

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...