Ο δυσκολότερος γρίφος του κόσμου !

Δυο μαθηματικοί - ο Γ. και ο Α. - ταξίδευαν με εκπαιδευτικό αεροπλάνο πάνω από τη ζούγκλα και μετά από μια αναπάντεχη βλάβη του κινητήρα πραγματοποίησαν αναγκαστική προσγείωση. Ενώ γλίτωσαν από θαύμα την συντριβή για κακή τους τύχη συνελήφθησαν από μια φυλή ανθρωποφάγων.
Όταν τους παρουσίασαν στον αρχηγό της φυλής με έκπληξη διαπίστωσαν ότι αυτός ήταν απόφοιτος της φυσικομαθηματικής σχολής του πανεπιστημίου Αθηνών. Θα τους έδινε μια ευκαιρία ώστε να μην γίνουν ψητοί με πατάτες στο φούρνο, αρκεί να έλυναν τον γρίφο που θα τους έθετε:
"Έχω σκεφτεί δυο ακέραιους και θετικούς αριθμούς χ και ψ.  Θα αποκαλύψω τώρα στον Γ, κρυφά από τον Α, το γινόμενο (χ.ψ) αυτών των αριθμών. 
Και μετά θα πω στον Α, κρυφά από τον Γ, το άθροισμά τους (χ+ψ)."
Έτσι κι έγινε, και στη συνέχεια ζήτησε από τους δυο μαθηματικούς να βρουν τους αριθμούς. 
Πρώτος μίλησε ο μαθηματικός Γ:
Γ: "Απ' ότι φαίνεται δεν μπορώ να βρω τους αριθμούς"
Για να απαντήσει ο μαθηματικός Α:
Α: "Το ήξερα ότι δεν θα τους βρεις!"
Και ξαφνικά λάμπουν τα μάτια του Γ λέγοντας:
Γ: "Αφού είναι έτσι τώρα τους βρήκα!" 
Πετάγεται αμέσως και ο μαθηματικός Α, φωνάζοντας:
Α: "Τώρα τους βρήκα και εγώ!" 
Έτσι ο καθένας ανακοίνωσε κρυφά από τον άλλον τους αριθμούς χ και ψ στον φύλαρχο και γλύτωσαν την ζωή τους!
Μπορείτε να βρείτε από τα παραπάνω δεδομένα ποιοι είναι οι αριθμοί χ και ψ;
(Για ευκολία θεωρήστε ότι οι αριθμοί χ και ψ είναι μεγαλύτεροι από τη μονάδα και το άθροισμά τους είναι μικρότερο του 100)...
.........................................................................
απάντηση:
Οι αριθμοί είναι οι  χ=4 και ψ=13.
Ο μαθηματικός Γ(ινόμενο) γνώριζε το γινόμενό τους χ.ψ=52,
ενώ ο μαθηματικός Α(θροισμα) γνώριζε το άθροισμά τους χ+ψ=17.
Ο μαθηματικός Γ θα έβρισκε αμέσως τους δυο αριθμούς αν αυτοί ήταν πρώτοι, γεγονός που δεν ισχύει. Το 52 γράφεται ως γινόμενο δυο αριθμών με δυο τρόπους:
52 = 4 . 13 = 2 . 26
 Γιαυτό δήλωσε:
 "Απ' ότι φαίνεται δεν μπορώ να βρω τους αριθμούς"
Ο Α διέκρινε τις παρακάτω περιπτώσεις:
2+15     με γινόμενο     30
3+14         >>              42
4+13         >>              52
5+12         >>              60
6+11         >>              66
7+10         >>              70
8+9          >>               72
Στις παραπάνω πιθανές περιπτώσεις δεν περιέχεται κανένα ζευγάρι πρώτων αριθμών.
Για τον λόγο αυτό ο μαθηματικός Α δήλωσε:
"Το ήξερα ότι δεν θα τους βρεις!"
Ο μαθηματικός Γ ήθελε κάποιο επιπλέον στοιχείο για να επιλέξει ένα από τα δυο πιθανά ζεύγη των αριθμών, (4,13) και (2,26), που έδιναν γινόμενο 52.  Όταν όμως άκουσε την παραπάνω δήλωση, απέρριψε μετά από λίγη(;) σκέψη το ζεύγος 2 και 26. Διότι το άθροισμά τους (2+26=28) μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δυο πρώτων (και σύμφωνα με την εικασία του Γκόλντμπαχ)
28 = 5+23 = 11 + 27
Γιαυτό απάντησε:
"Αφού είναι έτσι τώρα τους βρήκα!"
Ο μαθηματικός Α χρειάστηκε να σκεφτεί λίγο (;) περισσότερο για να επιλέξει την μια από τις επτά δικές του περιπτώσεις. Η μόνη περίπτωση στην ο οποία ο Γ θα μπορούσε να βρει τους αριθμούς είναι το γινόμενό τους να είναι 52, διότι μόνο αυτό αναλύεται μόνο με δυο τρόπους, ενώ οι άλλες περιπτώσεις αναλύονται με περισσότερους από δυο τρόπους:

2+15  με γινόμενο        30 = 2 x 15 = 3 x 10 = 5 x 6

3+14         >>              42 = 6 x 7 = 3 x 14 = 2 x 21

4+13         >>              52 = 4 x 13 = 2 x 26

5+12         >>              60 = 6 x 10 = 3 x 20 = 2 x 30 

6+11         >>              66 = 2 x 33 = 6 x 11 = 3 x 22

7+10         >>              70 = 7 x 10 = 2 x 45 = 5 x 14

8+9          >>               72 = 2 x 46 = 6 x 12 = 3 x 24

Τα παραπάνω αποτελούν απλώς μια επαλήθευση της σωστής λύσης και όχι η πλήρης και αναλυτική απάντηση...
... συνεχίζεται... EΔΩ