...κι όχι μόνο μια φορά!
Ο αριθμός π διαδραματίζει σημαντικό ρόλο στο γνωστό βιβλίο του Καρλ Σαγκάν (Carl Sagan), «Η Επαφή», το οποίο έχει ως θέμα την πρώτη επαφή του ανθρώπου με έναν προηγμένο εξωγήινο πολιτισμό. Στο κεφάλαιο που τιτλοφορείται «Το μήνυμα στο π», περιγράφει την ιδέα ότι οι εξωγήινοι είχαν ανακαλύψει ένα μήνυμα κρυμμένο βαθιά στα πάμπολα δεκαδικά ψηφία του π.
Ίσως το γεγονός ότι το π είναι γνωστό και ως υπερβατικός αριθμός (δεν αποτελεί ρίζα πολυωνυμικής εξίσωσης), να ενέπνευσε τον Σαγκάν να φανταστεί ένα υπερβατικό μήνυμα μέσα στο π....
....Υπό μια έννοια ο Σαγκάν είχε δίκιο, αφού οι μαθηματικοί πιστεύουν ότι το π, ως κανονικός αριθμός (βλέπε παρακάτω), δεν περιέχει μόνο κάποιο μήνυμα που κωδικοποίησαν κάποιοι εξωγήινοι, αλλά και κάθε είδους μήνυμα, το οποίο μάλιστα επαναλαμβάνεται άπειρες φορές!
Όπως η ρίψη ενός «ιδανικού τυχαίου νομίσματος» θα έδινε έναν κανονικό αριθμό με βάση το 2 (δυαδικό σύστημα), μπορούμε να φανταστούμε έναν τέλεια ισορροπημένο τροχό ρουλέτας με αριθμούς από το 0 έως το 9 που θα έδινε έναν κανονικό αριθμό, όπως το π, στο δεκαδικό σύστημα.
Υπάρχουν άραγε αριθμοί που να είναι κανονικοί αριθμοί σε οποιαδήποτε βάση; Υπάρχουν μερικοί που είναι γνωστοί. Έναν – που είναι γνωστός ως «σταθερά Τσάμπερναουν» - τον κατασκεύασε το 1935 ο Ντέιβιντ Τσάμπερναουν, συμμαθητής του Άλαν Τούριγκ. Πρόκειται για τον αριθμό:
123456789101112131415......
ο οποίος αποτελείται από τις δεκαδικές αντιπροσωπεύσεις των ακέραιων αριθμών σε αύξουσα σειρά.
Στο δυαδικό σύστημα όπου ισχύει η αντιστοιχία: 1=1, 2=10, 3=11, 4=100, 5=101, 6=110, 7=111, 8=1000, 9=1001 κ.ο.κ. η σταθερά Τσάμπερναουν στη βάση του 2 ξεκινά ως
1101110010111011110001001......
Η πιθανότητα εμφάνισης του 0 και του 1 είναι η ίδια με την πιθανότητα εμφάνισης της κορώνας ή γραμμάτων στην τυχαία ρίψη ενός νομίσματος.
Αν γράψουμε το π στο δυαδικό ή στο δεκαεξαδικό σύστημα, τότε αυτός εξακολουθεί να είναι κανονικός αριθμός; Και επιπλέον ο αριθμός π θα μπορούσε να είναι κανονικός αριθμός σε οποιαδήποτε βάση; Εάν αληθεύει το τελευταίο ερώτημα τότε το οποιοδήποτε «μήνυμα» θα μπορούσε να βρίσκεται κωδικοποιημένο στα ψηφία του π σε όποια βάση - πέραν του 10 -κι αν αυτό γραφόταν. Θα βρίσκαμε δηλαδή, τη συνταγή για το τέλειο γαλακτομπούρεκο, καθώς επίσης και την ιστορία της ζωής σας – μέχρι και αυτά που δεν σας έχουν συμβεί ακόμα – επαναλαμβανόμενα επ’ αόριστον.
Οι αριθμοί που είναι κανονικοί σε κάθε βάση δεν εμφανίζονται στην καθημερινότητα, αλλά η ευθεία των πραγματικών αριθμών είναι γεμάτη από τέτοιους αριθμούς. Σύμφωνα με τη θεωρία του Μπορέλ αν επιλέξουμε στην τύχη έναν πραγματικό αριθμό είναι σχεδόν σίγουρο (αποδεικνύεται μαθηματικά) ότι θα επιλέξουμε έναν αριθμό που είναι κανονικός σε κάθε βάση!...
Ο Σαγκάν έλεγε συχνά ότι είμαστε φτιαγμένοι από αστερόσκονη, αφού τα στοιχεία που αποτελούν το σώμα μας δημιουργούνται στο εσωτερικό των άστρων και στις υπερκαινοφανείς εκρήξεις. Αναμφισβήτητα θα ήταν εξίσου μαγεμένος από τον περίπλοκο τρόπο με τον οποίο όλοι συνδεόμαστε με την πραγματική ευθεία. Εάν ένας πραγματικός αριθμός επιλεχτεί τυχαία, είναι σχεδόν σίγουρο ότι τα ψηφία αυτού του αριθμού λένε την ιστορία κάθε ανθρώπου που έχει ζήσει ή θα ζήσει κάποτε, και η κάθε ιστορία θα περιέχεται άπειρες φορές.
ΠΗΓΗ: «Πως τα μαθηματικά εξηγούν τον κόσμο», James D. Stein, εκδόσεις ΑΒΓΟ
Ίσως το γεγονός ότι το π είναι γνωστό και ως υπερβατικός αριθμός (δεν αποτελεί ρίζα πολυωνυμικής εξίσωσης), να ενέπνευσε τον Σαγκάν να φανταστεί ένα υπερβατικό μήνυμα μέσα στο π....
....Υπό μια έννοια ο Σαγκάν είχε δίκιο, αφού οι μαθηματικοί πιστεύουν ότι το π, ως κανονικός αριθμός (βλέπε παρακάτω), δεν περιέχει μόνο κάποιο μήνυμα που κωδικοποίησαν κάποιοι εξωγήινοι, αλλά και κάθε είδους μήνυμα, το οποίο μάλιστα επαναλαμβάνεται άπειρες φορές!
Δηλαδή, αν ψάξουμε στην απειρία των δεκαδικών ψηφίων του θα μπορούσαμε να ανακαλύψουμε κωδικοποιημένους όλους τους νόμους της φυσικής, και μάλιστα όχι μόνο μια φορά! Αυτό βέβαια δεν σημαίνει τίποτε, διότι στην πραγματικότητα ψάχνουμε κάτι που ήδη ξέρουμε. Άλλωστε ψάχνοντας στα ψηφία του π θα βρίσκαμε το ένα δίπλα στο άλλο (εκ των υστέρων φυσικά) τα νούμερα του τζόκερ που κληρώθηκαν χθες ή κωδικοποιημένο τον τσελεμεντέ μαγειρικής που έχουμε στο σπίτι μας.Όταν λέμε ότι το π είναι κανονικός αριθμός στη βάση 10, εννοούμε ότι είναι ένας αριθμός στον οποίο κάθε ψηφίο από το 0 έως το 9, εμφανίζεται στην απειρία των δεκαδικών του ψηφίων, με πιθανότητα 1/10, ένα οποιοδήποτε ζεύγος ψηφίων π.χ. το 39, εμφανίζεται με πιθανότητα 1/100, κάθε τρία διαδοχικά ψηφία, όπως το 257 με πιθανότητα 1/1000, κ.ο.κ....
Όπως η ρίψη ενός «ιδανικού τυχαίου νομίσματος» θα έδινε έναν κανονικό αριθμό με βάση το 2 (δυαδικό σύστημα), μπορούμε να φανταστούμε έναν τέλεια ισορροπημένο τροχό ρουλέτας με αριθμούς από το 0 έως το 9 που θα έδινε έναν κανονικό αριθμό, όπως το π, στο δεκαδικό σύστημα.
Υπάρχουν άραγε αριθμοί που να είναι κανονικοί αριθμοί σε οποιαδήποτε βάση; Υπάρχουν μερικοί που είναι γνωστοί. Έναν – που είναι γνωστός ως «σταθερά Τσάμπερναουν» - τον κατασκεύασε το 1935 ο Ντέιβιντ Τσάμπερναουν, συμμαθητής του Άλαν Τούριγκ. Πρόκειται για τον αριθμό:
123456789101112131415......
ο οποίος αποτελείται από τις δεκαδικές αντιπροσωπεύσεις των ακέραιων αριθμών σε αύξουσα σειρά.
Στο δυαδικό σύστημα όπου ισχύει η αντιστοιχία: 1=1, 2=10, 3=11, 4=100, 5=101, 6=110, 7=111, 8=1000, 9=1001 κ.ο.κ. η σταθερά Τσάμπερναουν στη βάση του 2 ξεκινά ως
1101110010111011110001001......
Η πιθανότητα εμφάνισης του 0 και του 1 είναι η ίδια με την πιθανότητα εμφάνισης της κορώνας ή γραμμάτων στην τυχαία ρίψη ενός νομίσματος.
Αν γράψουμε το π στο δυαδικό ή στο δεκαεξαδικό σύστημα, τότε αυτός εξακολουθεί να είναι κανονικός αριθμός; Και επιπλέον ο αριθμός π θα μπορούσε να είναι κανονικός αριθμός σε οποιαδήποτε βάση; Εάν αληθεύει το τελευταίο ερώτημα τότε το οποιοδήποτε «μήνυμα» θα μπορούσε να βρίσκεται κωδικοποιημένο στα ψηφία του π σε όποια βάση - πέραν του 10 -κι αν αυτό γραφόταν. Θα βρίσκαμε δηλαδή, τη συνταγή για το τέλειο γαλακτομπούρεκο, καθώς επίσης και την ιστορία της ζωής σας – μέχρι και αυτά που δεν σας έχουν συμβεί ακόμα – επαναλαμβανόμενα επ’ αόριστον.
Οι αριθμοί που είναι κανονικοί σε κάθε βάση δεν εμφανίζονται στην καθημερινότητα, αλλά η ευθεία των πραγματικών αριθμών είναι γεμάτη από τέτοιους αριθμούς. Σύμφωνα με τη θεωρία του Μπορέλ αν επιλέξουμε στην τύχη έναν πραγματικό αριθμό είναι σχεδόν σίγουρο (αποδεικνύεται μαθηματικά) ότι θα επιλέξουμε έναν αριθμό που είναι κανονικός σε κάθε βάση!...
Ο Σαγκάν έλεγε συχνά ότι είμαστε φτιαγμένοι από αστερόσκονη, αφού τα στοιχεία που αποτελούν το σώμα μας δημιουργούνται στο εσωτερικό των άστρων και στις υπερκαινοφανείς εκρήξεις. Αναμφισβήτητα θα ήταν εξίσου μαγεμένος από τον περίπλοκο τρόπο με τον οποίο όλοι συνδεόμαστε με την πραγματική ευθεία. Εάν ένας πραγματικός αριθμός επιλεχτεί τυχαία, είναι σχεδόν σίγουρο ότι τα ψηφία αυτού του αριθμού λένε την ιστορία κάθε ανθρώπου που έχει ζήσει ή θα ζήσει κάποτε, και η κάθε ιστορία θα περιέχεται άπειρες φορές.
ΠΗΓΗ: «Πως τα μαθηματικά εξηγούν τον κόσμο», James D. Stein, εκδόσεις ΑΒΓΟ
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου