Μια απροσδόκητη εμφάνιση του αριθμού e=2,718...

Καταρχήν χρειαζόμαστε μια γεννήτρια τυχαίων αριθμών μεταξύ 0 και 1.
Γι αυτό πηγαίνουμε στον ιστότοπο  www.wolframalpha.com και εισάγουμε την εντολή RandomReal[{0,1}]

Πατώντας το ίσον δημιουργείται ένας τυχαίος αριθμός στο διάστημα  μεταξύ 0 και 1. Με τον ίδιο τρόπο δημιουργούμε και έναν δεύτερο τυχαίο αριθμό στο ίδιο διάστημα.
Εξετάζουμε το άθροισμα των δυο τυχαίων αριθμών. Αν είναι μικρότερο του 1 δημιουργούμε άλλον έναν και τον προσθέτουμε στο προηγούμενο άθροισμα ελέγχοντας αν το άθροισμα να ξεπερνά το 1 κ.ο.κ.
Το ερώτημα που τίθεται είναι: πόσοι τυχαίοι αριθμοί στο διάστημα 0 έως 1 χρειάζονται κατά μέσο όρο, ώστε το άθροισμά τους να ξεπεράσει το 1; 
Η απάντηση......
είναι ο αριθμός 2,71828...., η βάση των φυσικών ή νεπέριων λογαρίθμων ή αλλιώς ο αριθμός του Όυλερ (Euler)!
Εκτελώντας το "πείραμα" μόνο 19 φορές βρήκαμε ότι το πλήθος των τυχαίων αριθμών που απαιτείται ώστε το άθροισμά τους να είναι μεγαλύτερο του 1 ήταν κάθε φορά:

2, 3, 3, 2, 2, 4, 2, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 4, 3, 3, 4, 3, 2 

Κατά μέσο όρο δηλαδή 51/19=2,684.... που είναι αρκετά κοντά στον αριθμό e.
Η παραπάνω πρόταση αποδεικνύεται αναλυτικά ή είναι εικασία;