10/6/11

H εξίσωση που παράγει τους πρώτους αριθμούς

Οι φυσικοί αριθμοί (με εξαίρεση τον αριθμό 1) είναι είτε πρώτοι είτε σύνθετοι.
Πρώτοι αριθμοί είναι αυτοί που διαιρούνται μόνο με τον εαυτό τους και τη μονάδα. Τέτοιοι αριθμοί είναι οι: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, .........
Οι υπόλοιποι αριθμοί που ονομάζονται σύνθετοι μπορούν να εκφραστούν με έναν και μοναδικό τρόπο, ως γινόμενο πρώτων αριθμών. Για παράδειγμα ο αριθμός 30 γράφεται 12=2x3x5.
Κατά συνέπεια οι πρώτοι αριθμοί «γεννούν» όλους τους φυσικούς αριθμούς.
Άραγε υπάρχει κάποιος μαθηματικός τύπος που να υπολογίζει τους πρώτους αριθμούς;
Για να βρούμε π.χ. τον 5ο κατά σειρά άρτιο αριθμό χρησιμοποιούμε τον τύπο αn=2n για n=5 και παίρνουμε α5=10. Υπάρχει μια τέτοια σχέση (έστω και πολυπλοκότερη) που αν θέλαμε να βρούμε τον πέμπτο κατά σειρά πρώτο αριθμό να θέταμε στη σχέση αυτή την τιμή n=5 και να παίρναμε τον αριθμό 11 που είναι ο πέμπτος πρώτος αριθμός;
Λοιπόν, ένας τέτοιος τύπος υπάρχει – αλλά επειδή είναι περίπλοκος(;) τον αγνοούμε – και είναι ο εξής:


Για να κατανοηθεί η παραπάνω εξίσωση πρέπει .....
να κατανοήσουμε τη συνάρτηση F(j):

Καταρχήν οι αγκύλες [ ] εκφράζουν το ακέραιο μέρος του αριθμού που βρίσκεται μέσα σ’ αυτές. Για παράδειγμα [0,34]=0 ή [4,23]=4. Βέβαια δεδομένου ότι μέσα στις αγκύλες περιέχεται ένα συνημίτονο υψωμένο στο τετράγωνο, αυτό σημαίνει ότι το αποτέλεσμα θα είναι ή 0 ή 1.
Αυτή η συνάρτηση γνωρίζει πότε ο αριθμός j είναι πρώτος και πότε όχι. Όταν παίρνει την τιμή 1, τότε ο αριθμός j είναι πρώτος, όταν παίρνει την τιμή j=0 είναι σύνθετος. Για παράδειγμα αν θέσουμε j=3 - που είναι πρώτος αριθμός - παίρνουμε
F(3)=[cos2π]=1
ενώ για j=4
F(4)=[cos27π/4]=0
H λειτουργία της παραπάνω συνάρτησης βασίζεται στο θεώρημα Wilson σύμφωνα με το οποίο, η έκφραση (j-1)!+1 διαιρείται ακριβώς με το j, μόνο όταν ο αριθμός j είναι πρώτος.
Τώρα λοιπόν μπορούμε να κατανοήσουμε την εξίσωση που υπολογίζει τον n-στο πρώτο αριθμό

Μόνο που είναι αρκετά δύσχρηστη. Για παράδειγμα αν αναζητούμε τον 121 κατά σειρά πρώτο αριθμό τότε ένα από τα παραγοντικά που υπεισέρχεται στους υπολογισμούς είναι το (j-1)! = 120! που είναι ένας ... τεράστιος αριθμός:
mathworld.wolfram.com - Calvin C. Clawson, "Μαθηματικά Μυστήρια", εκδόσεις Κέδρος

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...