Τυχεροί αριθμοί...

... ή πως να κάνουμε πράξεις με το μυαλό μας

 Ο Richard Feynman στο κεφάλαιο «Τυχεροί αριθμοί», του βιβλίου του «Σίγουρα θα αστειεύεστε , κύριε Φάινμαν» αναφέρει μεταξύ άλλων και το εξής περιστατικό:

….. Όταν βρισκόμουν το Λος Άλαμος, είχα διαπιστώσει ότι ο Hans Bethe έκανε πράξεις με το νου του σαν υπολογιστής. Για παράδειγμα, μια φορά αντικαθιστούσαμε τις αριθμητικές τιμές των μεγεθών σε έναν τύπο, και έφτασα στο τετράγωνο του 48. Πήγα λοιπόν στη μηχανή Marchant για να το βρω, αλλά αυτός με έκοψε:
«Άστο, είναι 2300». Άρχισα να πατώ τα κουμπιά, και αυτός συμπλήρωσε:
«Αν το θέλεις ακριβώς είναι 2304».
Η μηχανή έγραψε 2304. «Μπράβο! Πως έτσι;» απόρησα.
«Δεν ξέρεις πώς να βρίσκεις το τετράγωνο αριθμών κοντά στο 50;
Βρίσκεις το τετράγωνο του 50 και αφαιρείς το εκατονταπλάσιο της διαφοράς του αριθμού σου από το 50 (στην προκειμένη περίπτωση το 2), οπότε
2500 – 200 = 2300
Αν θέλεις ακριβώς τον αριθμό, βρίσκεις το τετράγωνο της διαφοράς και το προσθέτεις (2300+4=2304)»

..... Πράγματι έτσι είναι. Για παράδειγμα
41² = 2500 -100•9 + 9²=1681
ή αν θέλουμε το τετράγωνο αριθμού μεγαλύτερου του 50
54² = 2500 +100•4 + 4²=2916
Μόνο που τώρα, το εκατονταπλάσιο της διαφοράς του αριθμού από το πενήντα, προστίθεται στο 2500 αντί να αφαιρείται.
Μπορεί κανείς να διαπιστώσει ότι ο παραπάνω τυφλοσούρτης ισχύει και για αριθμούς που απέχουν πολύ από το 50, με τη μόνη διαφορά ότι τότε οι πράξεις γίνονται όλο και δυσκολότερες με το μυαλό.
Πως σκέφτηκε ο μεγάλος φυσικός Hans Bethe τον παραπάνω τυφλοσούρτη; Απλούστατα! Βασίστηκε στην γνωστή από το γυμνάσιο ταυτότητα του τέλειου τετραγώνου:

για α=50 προκύπτει

 Έτσι για να υπολογίσουμε το τετράγωνο οποιουδήποτε αριθμού που διαφέρει κατά β από το 50 αρκεί: να αφαιρέσουμε από το 50²=2500, το εκατονταπλάσιο της διαφοράς του αριθμού μας από το 50 και αν θέλουμε περισσότερη ακρίβεια να προσθέσουμε το τετράγωνο της διαφοράς!