O Κορνήλιος Καστοριάδης για τους τέσσερις τύπους σχέσεων ανάμεσα στα Μαθηματικά και τη Φυσική
Στην πρώτη περίπτωση των σχέσεών τους, τα Μαθηματικά και η Φυσική συμβαδίζουν. Στην περίπτωση του Νεύτωνα, λόγου χάρη, έχουμε ταυτόχρονα και, μπορώ να πω, ομοούσια με τη διατύπωση του διαφορικού λογισμού και τη θεμελίωση μιας νέας Φυσικής. Η μαθηματικοποίηση της Φυσικής άρχισε από τον Γαλιλαίο, συνεχίστηκε από τον Καρτέσιο και ολοκληρώθηκε, ή μάλλον, πιο σωστά, οριστικοποιήθηκε, με τον Νεύτωνα.
Η δεύτερη περίπτωση είναι εκείνη όπου η μαθηματική επιστήμη προηγείται της Φυσικής. Για παράδειγμα, οι ρημάνειοι χώροι περίμεναν πενήντα πέντε ή εξήντα πέντε χρόνια, για να τους χρησιμοποιήσει η Φυσικοί. Αυτό έγινε μόλις το 1916, με τη διατύπωση της γενικής σχετικότητας από τον Einstein. Άλλωστε, σίγουρα μέχρι τότε η πλειονότητα των φυσικών αγνοούσε τη ρημάνεια γεωμετρία, αφού δεν χρειάστηκε στην έρευνα, εν αντιθέσει με τη χρησιμότητα που είχαν γι’ αυτήν τα «εργαλεία» που προσέφερε η κλασική Ανάλυση.
EYΑΓΓΕΛΟΠΟΥΛΟΣ: Στο σημείο αυτό επιτρέψτε μου μια παρατήρηση η οποία είναι, νομίζω, ιδιαίτερα σημαντική. Ο Riemann, στο τελευταίο τμήμα της υφηγεσίας του, Uber die Hypothesen welche der Geometrie zugrunde liegen, αναφέρει πως η γεωμετρία του χώρου διαμορφώνεται από φυσικές δυνάμεις και αυτό μας οδηγεί στο πεδίο της Φυσικής, ήτοι ένα θέμα για το οποίο δεν θα μιλούσε σ’ αυτή την περίσταση. Ο ίδιος, λοιπόν, ο Riemann ήταν βέβαιος για το «ρόλο» των φυσικών δυνάμεων, όμως δεν γνώριζε ότι πρόκειται για το πεδίο βαρύτητας, ότι δηλαδή οι παλιρροϊκές δυνάμεις της βαρύτητας ήταν η καμπυλότητα του χωρόχρονου. Αυτό το βρήκε ο Einstein και διατύπωσε την αρχή της ισοδυναμίας που είναι βασικά η ισοδυναμία μεταξύ των αδρανειακών συστημάτων και των κυλινδρικών κανονικών συντεταγμένων της ρημάνειας γεωμετρίας.
ΚΑΣΤΟΡΙΑΔΗΣ: Και το αστείο είναι αυτό που αναφέρει ο Pais, στην ωραιότατη βιογραφία του Einstein υπό τον τίτλο Subtle is the Lord,
ότι δηλαδή στη δουλειά του για τη γενική σχετικότητα ο Einstein επανανακάλυψε τις ταυτότητες του Bianchi και του Ricci, οι οποίες ήταν γνωστές στους μαθηματικούς από το 1900, αλλά άγνωστες στους φυσικούς. Με δυο λόγια, ο Einstein εργάστηκε ως μαθηματικός και ανακάλυψε τις δυο βασικές ταυτότητες που απορρέουν από τη ρημάνεια γεωμετρία.
Στην τρίτη περίπτωση των σχέσεων Μαθηματικών και Φυσικής, έχουμε τη φυσική επιστήμη να προηγείται των Μαθηματικών. Λόγου χάρη, τα σημερινά Μαθηματικά αδυνατούν να αντιμετωπίσουν εκείνα τα φαινόμενα της υδροδυναμικής στα οποία παρουσιάζονται στροβιλώδεις ροές. Είναι γνωστά βέβαια ορισμένα στοιχεία, όπως για παράδειγμα, η σταθερά του Reynolds, αλλά δεν υπάρχει πραγματική μαθηματική περιγραφή και εξήγηση του φαινομένου του στροβιλισμού. Άλλωστε ο John von Neumann έλεγε: «Προσπαθώ να φτιάξω ηλεκτρονικούς υπολογιστές, διότι με τη βοήθειά τους θα επιτύχουμε προσομοιώσεις στροβιλισμών, οπότε ίσως μπορέσουμε να μελετήσουμε καλύτερα αυτά τα φαινόμενα και να ανακαλύψουμε τα Μαθηματικά που τα περιγράφουν». Πρότεινε δηλαδή ένα νοητικό πείραμα (Gedankenexperiment)
EYAΓΓΕΛΟΠΟΥΛΟΣ: Ο διαπρεπής Έλληνας μαθηματικός Δημήτρης Χριστοδούλου εργάζεται, μεταξύ άλλων, και πάνω στα μαθηματικά προβλήματα της υδροδυναμικής. Έχει ασχοληθεί ήδη με κάποια από τα αποκαλούμενα «προβλήματα των ελεύθερων συνόρων» και μου έχει εξηγήσει ότι το πρόβλημα του στροβιλισμού είναι ακόμη απολύτως «ανεξιχνίαστο», διότι δεν υπάρχουν ικανοποιητικά μαθηματικά εργαλεία και μέθοδοι προσέγγισής του. Και τούτο πολλά χρόνια αφότου ο von Neumann έκανε τη δήλωση που μόλις αναφέρατε. Αλλά γιατί να πάμε στο στροβιλισμό για να διαπιστώσουμε του λόγου σας το αληθές; Είναι γνωστό ότι δεν έχουμε ακόμη απαντήσει στο ερώτημα γιατί υπάρχουν οι τρεις συνηθισμένες καταστάσεις της ύλης, η στερεά, η υγρή και η αέρια. Στο πλαίσιο της κβαντικής στατιστικής μηχανικής και αυτή ακόμη η διατύπωση του ερωτήματος, όχι η επίλυσή του, είναι ιδιαίτερα δύσκολη. Αν επιχειρήσουμε την απλοποίηση του προβλήματος και το διατυπώσουμε στο πλαίσιο της κλασικής στατιστικής μηχανικής, καταλήγουμε σ΄ ένα ολοκλήρωμα, του οποίου η απλούστερη υποπερίπτωση αποτελεί το πρόβλημα της «δομής πυκνότητας της διάταξης των σφαιρών», που το πρωτοδιατύπωσε ο Kepler και παραμένει άλυτο εδώ και τετρακόσια χρόνια.
Νομίζω, όμως, πως πρέπει να σημειωθεί και η ακόλουθη σημαντική συνέπεια του γεγονότος ότι μερικές φορές η Φυσική προηγείται των Μαθηματικών προβλημάτων, όπως συνέβη με την αξιοποίηση της θεωρίας Yang-Mils από τον Donaldson στην τετραδιάστατη διαφορική τοπολογία, αλλά και πιο πρόσφατα με την εντυπωσιακή επαναδιατύπωση των αναλλοίωτων του Donaldson από τον Edward Witten, που έγινε με όρους του χώρου λύσεων των μονοπόλων Dirac. Βέβαια, αρχικά ορισμένοι μαθηματικοί αμφισβήτησαν το κατά πόσον οι λύσεις του Witten συνιστούν αποδείξεις με την αυστηρή έννοια του όρου «απόδειξη», γρήγορα όμως αυτές οι αντιρρήσεις ήρθησαν.
ΚΑΣΤΟΡΙΑΔΗΣ: Ακριβώς. Θα ήθελα μάλιστα να τονίσω ότι υπάρχουν και άλλοι τομείς της Φυσικής, εκτός από την υδροδυναμική, στους οποίους συναντάμε άλυτα μαθηματικά προβλήματα. Νομίζω ότι η ίδια η κβαντομηχανική εξακολουθεί να έχει προβλήματα, τα οποία είναι υποχρεωμένη να μελετά προσεγγιστικά. Όλη η περίφημη επανακανονικοποίηση (renormalization) δεν είναι τίποτε άλλο παρά μόνον προσεγγίσεις, δηλαδή, «κόβουν» άκρα από τις εξισώσεις για να μπορέσουν να «πέσουν» σε πιο πεπερασμένες τιμές των λύσεων και να αποφύγουν τους απειρισμούς σε αυτές. Αλλά και οι σύγχρονες κοσμολογικές θεωρίες για τα πληθωριστικά σύμπαντα όπως και οι πρόσφατες θεωρίες των χορδών, αντιμετωπίζουν προβλήματα των οποίων η επίλυση προσκρούει στον τοίχο της μαθηματικής δυσκολίας.
Πέραν όμως από τους τρεις προαναφερθέντες τύπους σχέσεων των Μαθηματικών με τη Φυσική, πρέπει να υπογραμμίσουμε την τέταρτη και πιο βαθιά σχέση τους που έγκειται στη μη ταύτισή τους και οφείλεται στην ύπαρξη τεράστιων κλάδων της μαθηματικής επιστήμης που δεν έχουν και ούτε μπορούν να αποκτήσουν αντιστοιχία στον φυσικό κόσμο. Λόγου χάρη, τα απλούστατα πράγματα, όπως το άπειρο, τα άπειρα της ιεραρχίας του Cantor, δηλαδή η ακολουθία 2N, 22N, 222N, … Τι «φυσικό» νόημα έχει ή θα μπορούσε να αποκτήσει ποτέ η ακολουθία; Το ίδιο ερώτημα ισχύει και για τις «τερατώδεις» τοπολογίες των Bourbaki, κλπ. Aλλά και αυτοί ακόμη οι πραγματικοί αριθμοί, αν εξαιρέσουμε τους ακέραιους και μερικούς ρητούς, δεν ανταποκρίνονται σε καμιά φυσική πραγματικότητα, δεν έχουν κανένα φυσικό νόημα. Εντούτοις, οι άρρητοι, και ιδίως οι μη υπολογίσιμοι άρρητοι (όχι, επί παραδείγματι, οι αλγεβρικοί), οι οποίοι είναι σχεδόν το σύνολο των πραγματικών (οι υπολογίσιμοι πραγματικοί αποτελούν νησίδες μέσα σ’ έναν τεράστιο ωκεανό), αποτελούν τους αριθμούς πάνω στους οποίους δουλεύουν οι μαθηματικοί. Γι’ αυτό το λόγο δεν παραδέχομαι ότι «η νευρωνική θεωρία» είναι ικανή να εξηγήσει τη μαθηματική δραστηριότητα του ανθρωπίνου όντος. Θα αφορούσε, το πολύ, στη στοιχειώδη αριθμητική και την ευκλείδεια γεωμετρία. Με βάση τη δαρβινική άποψη – και ο Freud, παραδόξως, υποστηρίζει ως ένα ορισμένο σημείο μια καντιανοδαρβινική άποψη-, έχουμε a priori μορφές σκέψης, μεταξύ των οποίων φυσικά, και ορισμένες μαθηματικές, οι οποίες επελέγησαν - διαμορφώθηκαν μέσα από τη διαδικασία της φυσικής επιλογής. Έστω, λοιπόν, ότι έτσι δημιουργήθηκε ο μηχανισμός με τον οποίο μπορούμε να σκεφτόμαστε. Έστω επίσης, ότι οι ανάγκες της πραγματικής μας επιβίωσης μας επιβάλλουν να μπορούμε να μετρήσουμε, επί παραδείγματι, ένα κοπάδι κατσίκες. Κατά τι, όμως, μας επιβάλλουν να αποδείξουμε ότι το πλήθος των πρώτων αριθμών είναι άπειρο, σύμφωνα με το γνωστό θεώρημα του Ευκλείδη; Εξάλλου, αυτή η «εξήγηση» αφορά και στα ζώα και συνεπώς δεν μας ενδιαφέρει ιδιαίτερα. Με άλλα λόγια, στο μέτρο που ο εγκέφαλός μας αποτελεί προϊόν της δαρβινικής εξέλιξης, είναι προορισμένος να συλλαμβάνει τη φυσική πραγματικότητα μέσω μαθηματικών εννοιών και κατασκευών, που ανταποκρίνονται στη συνολοταυτιστική διάσταση αυτού που ονομάζω πρώτη φυσική στιβάδα, δηλαδή τη στιβάδα της άμεσης δεδομένης φύσης, συμπεριλαμβανομένης και της βιολογικής. Επί παραδείγματι, ο χώρος είναι τοπικά, έστω κι αν δεν είναι τελικά, ευκλείδειος. Δεν είναι τελικά τελικά ευκλείδειος για λόγους μη ευκλείδειας τοπολογίας του υπομικροκόσμου (βλ. απόψεις Wheeler, κ.ά.). Αλλά, ως «ικανός κατά την χρείαν», όπως λέει και ο Αριστοτέλης, δηλαδή όσο χρειάζεται για την πρακτική, ο χώρος είναι ευκλείδειος τοπικά και στην π΄ρωτη του στιβάδα. Μέσα σ’ αυτό τον ευκλείδειο χώρο λειτουργούν και τα ζώα και τα φυτά, κλπ.
Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι τα ζώα «επιλύουν» προβλήματα διαφορικού λογισμού, έστω κι αν δεν έχουν συνείδηση ότι το κάνουν. Η καμπύλη καταδιώξεως ενός λαγού από έναν σκύλο ελαχιστοποιεί το χρόνο στον οποίο ο σκύλος θα φτάσει το λαγό. Αν ο λαγός αποβλέπει να φτάσει κάπου, ο σκύλος θα κάνει μια καμπύλη η οποία ελαχιστοποιεί το χρόνο στον οποίο θα τον προλάβει. Ο σκύλος εδώ λύνει μια διαφορική εξίσωση. Συνεπώς, εάν υπάρχουν αυτές οι δομές, τις μοιραζόμαστε τουλάχιστον με τα θηλαστικά, αλλά, μάλλον, και με πολλά άλλα ζώα.
Αυτή η άποψη δεν παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον για μας, από τη στιγμή που μας απασχολεί κυρίως ο χωρισμός ανάμεσα στο ανθρώπινο ον και στο απλώς έμβιο ον˙ διότι υπάρχει μια τεράστια συνέχεια, αλλά υπάρχει και χωρισμός. Αυτός ο χωρισμός εμφανίζεται, μεταξύ άλλων, και στα Μαθηματικά. Εμφανίζεται γενικότερα με τη μη λειτουργικότητα των περισσοτέρων πραγμάτων τα οποία κάνει ο άνθρωπος. Ενώ, λοιπόν, το έμβιο όν είναι λειτουργικό σε ότι κάνει, εκτός από ελάχιστα ίσως πράγματα, εμείς, αντιθέτως, είμαστε μη λειτουργικοί σχεδόν στα πάντα, εκτός από ελάχιστα πράγματα. Επί παραδείγματι, η μουσική δεν είναι λειτουργική, το ίδιο και η ποίηση και τα Μαθηματικά˙ αλλά και η Φυσική, και ιδιαίτερα η κοσμολογία, δεν βλέπω να έχουν καμία λειτουργικότητα. Κι αυτό έχει σχέση με την ανάδυση στο ανθρώπινο ον του ριζικού φαντασιακού τόσο ως ατομικού, δηλαδή ως πηγής της φαντασίας του επιμέρους ανθρώπου, όσο και ως κοινωνικού, δηλαδή ως πηγής κοινωνικής δημιουργίας. Και εκεί ανήκει και αυτό τεράστιο μέρος των Μαθηματικών που υπερβαίνει την απλή αριθμητική και την απλή γεωμετρία.
Θα έλεγα, επομένως, απαντώντας στο αρχικό σας ερώτημα για τη φύση τους, ότι τα Μαθηματικά, στον τεράστιο βαθμό που υπερβαίνουν τη συνολοταυτιστική διάσταση κάθε όντος, δημιουργούν ιδεατότητες, όχι πλατωνικές, ήτοι υπερπραγματικές, αλλά σημασίες που έχουν μιαν ισχύ όχι de facto, αλλά de jure, όπως θα έλεγαν οι νομικοί, δηλαδή σημασίες οι οποίες, όσον αφορά κάθε ανθρώπινο ον, επιβάλλονται λογικά αφότου γίνουν αποδεκτά τα αξιώματα. Εδώ υπάρχει η κλασική ερώτηση: Ίσχυε το πυθαγόρειο θεώρημα προ 200000 ετών;
Πρώτη απάντηση: Ναι, διότι αφορά και στην απτή πραγματικότητα, καθόσον η γεωμετρία του σύμπαντος τοπικά είναι ευκλείδεια, ακόμη και μέσα στη γενική θεωρία της σχετικότητας. Το πυθαγόρειο θεώρημα ίσχυε με αυτήν την έννοια και προ 200000 ετών, ως «εμπεδωμένο», ενσωματωμένο στην πραγματικότητα, δηλαδή ως ενυπάρχον στη συνολοταυτιστική μαθηματικοποιήσιμη διάσταση της πραγματικότητας. Όμως, το θεώρημα του Ευκλείδη για το άπειρο πλήθος των πρώτων αριθμών, καθώς και το θεώρημα των Halamard και de la Vallee Poussin για την προσέγγιση του πλήθους των πρώτων οι οποίοι δεν είναι μεγαλύτεροι από έναν δεδομένο φυσικό αριθμό, ίσχυαν προ 200000 ετών; Νομίζω ότι η ερώτηση δεν έχει νόημα. Και θα έλεγα ότι θα ίσχυαν, μόνον με την έννοια ότι κάθε σκεπτόμενο ον, την εποχή εκείνη, εάν δούλευε αρκετά και κυρίως, αν είχε αρκετή φαντασία, θα “έφθανε” σ΄αυτά τα θεωρήματα (....)
 |
| Ο Κορνήλιος Καστοριάδης |
ΚΑΣΤΟΡΙΑΔΗΣ: (... )Όμως, η ύπαρξη αυτής της διάστασης δεν σημαίνει ότι υπάρχει μια απόλυτη αντιστοιχία ανάμεσα στο συνολοταυτιστικό των πραγματικών όντων και στο συνολοταυτιστικό των Μαθηματικών. Στο μέτρο που υπάρχει, εξηγεί την παράλογη, την αδικαιολόγητη αποτελεσματικότητα των Μαθηματικών. Εδώ γεννώνται πολλές επιμέρους εξηγήσεις. Επί παραδείγματι, υπάρχουν αυτοί οι περίεργοι τέσσερις τύποι σχέσεων ανάμεσα στα Μαθηματικά και τη Φυσική, του οποίους περιγράφω σ΄ένα κείμενο που λέγεται «Το οντολογικό βάρος της ιστορίας της επιστήμης» και περιέχεται στους Χώρους του Ανθρώπου.
Στη συνέχεια παραθέτουμε ένα μικρό, αλλά πολύ ενδιαφέρον, απόσπασμα από το βιβλίο του Γιώργου Λ. Ευαγγελόπουλου, “Μαθηματικά και Φυσική, μια ιδιαίτερη σχέση – Με αφορμή σκέψεις του Κορνήλιου Καστοριάδη”, εκδόσεις Ευρασία, 2010.
Στο βιβλίο αυτό γίνεται αντιπαράθεση των απόψεων του Καστοριάδη (όπως διατυπώνονται στον διάλογο για τη φιλοσοφία και την επιστήμη: Κορνήλιος Καστοριάδης, Φιλοσοφία και Επιστήμη – Ένας διάλογος με τον Γεώργιο Λ. Ευαγγελόπουλο, δεύτερη, ανθεωρημένη έκδοση, Αθήνα, 2010 [2004])
με εκείνες του μαθηματικού Δημήτρη Χριστοδούλου σύμφωνα με συνέντευξή του στο περιοδικό Quantum (τμήμα της συνέντευξης αυτής που αναφέρεται στο Christodoulou memory effect βρίσκεται ΕΔΩ: physicsgg.wordpress.com)
καθώς και με αυτές του Βασίλη Γ. Σακελλαρίου, όπως αναπτύσσονται στην διδακτορική του διατριβή, “Η Λογική της Μετάβασης από την Κλασσική στην Κβαντική Φυσική υπό το Πρίσμα Σύγχρονων μαθηματικών Εξελίξεων”.
Στην πρώτη περίπτωση των σχέσεών τους, τα Μαθηματικά και η Φυσική συμβαδίζουν. Στην περίπτωση του Νεύτωνα, λόγου χάρη, έχουμε ταυτόχρονα και, μπορώ να πω, ομοούσια με τη διατύπωση του διαφορικού λογισμού και τη θεμελίωση μιας νέας Φυσικής. Η μαθηματικοποίηση της Φυσικής άρχισε από τον Γαλιλαίο, συνεχίστηκε από τον Καρτέσιο και ολοκληρώθηκε, ή μάλλον, πιο σωστά, οριστικοποιήθηκε, με τον Νεύτωνα.
Η δεύτερη περίπτωση είναι εκείνη όπου η μαθηματική επιστήμη προηγείται της Φυσικής. Για παράδειγμα, οι ρημάνειοι χώροι περίμεναν πενήντα πέντε ή εξήντα πέντε χρόνια, για να τους χρησιμοποιήσει η Φυσικοί. Αυτό έγινε μόλις το 1916, με τη διατύπωση της γενικής σχετικότητας από τον Einstein. Άλλωστε, σίγουρα μέχρι τότε η πλειονότητα των φυσικών αγνοούσε τη ρημάνεια γεωμετρία, αφού δεν χρειάστηκε στην έρευνα, εν αντιθέσει με τη χρησιμότητα που είχαν γι’ αυτήν τα «εργαλεία» που προσέφερε η κλασική Ανάλυση.
EYΑΓΓΕΛΟΠΟΥΛΟΣ: Στο σημείο αυτό επιτρέψτε μου μια παρατήρηση η οποία είναι, νομίζω, ιδιαίτερα σημαντική. Ο Riemann, στο τελευταίο τμήμα της υφηγεσίας του, Uber die Hypothesen welche der Geometrie zugrunde liegen, αναφέρει πως η γεωμετρία του χώρου διαμορφώνεται από φυσικές δυνάμεις και αυτό μας οδηγεί στο πεδίο της Φυσικής, ήτοι ένα θέμα για το οποίο δεν θα μιλούσε σ’ αυτή την περίσταση. Ο ίδιος, λοιπόν, ο Riemann ήταν βέβαιος για το «ρόλο» των φυσικών δυνάμεων, όμως δεν γνώριζε ότι πρόκειται για το πεδίο βαρύτητας, ότι δηλαδή οι παλιρροϊκές δυνάμεις της βαρύτητας ήταν η καμπυλότητα του χωρόχρονου. Αυτό το βρήκε ο Einstein και διατύπωσε την αρχή της ισοδυναμίας που είναι βασικά η ισοδυναμία μεταξύ των αδρανειακών συστημάτων και των κυλινδρικών κανονικών συντεταγμένων της ρημάνειας γεωμετρίας.
ΚΑΣΤΟΡΙΑΔΗΣ: Και το αστείο είναι αυτό που αναφέρει ο Pais, στην ωραιότατη βιογραφία του Einstein υπό τον τίτλο Subtle is the Lord,
ότι δηλαδή στη δουλειά του για τη γενική σχετικότητα ο Einstein επανανακάλυψε τις ταυτότητες του Bianchi και του Ricci, οι οποίες ήταν γνωστές στους μαθηματικούς από το 1900, αλλά άγνωστες στους φυσικούς. Με δυο λόγια, ο Einstein εργάστηκε ως μαθηματικός και ανακάλυψε τις δυο βασικές ταυτότητες που απορρέουν από τη ρημάνεια γεωμετρία.
Στην τρίτη περίπτωση των σχέσεων Μαθηματικών και Φυσικής, έχουμε τη φυσική επιστήμη να προηγείται των Μαθηματικών. Λόγου χάρη, τα σημερινά Μαθηματικά αδυνατούν να αντιμετωπίσουν εκείνα τα φαινόμενα της υδροδυναμικής στα οποία παρουσιάζονται στροβιλώδεις ροές. Είναι γνωστά βέβαια ορισμένα στοιχεία, όπως για παράδειγμα, η σταθερά του Reynolds, αλλά δεν υπάρχει πραγματική μαθηματική περιγραφή και εξήγηση του φαινομένου του στροβιλισμού. Άλλωστε ο John von Neumann έλεγε: «Προσπαθώ να φτιάξω ηλεκτρονικούς υπολογιστές, διότι με τη βοήθειά τους θα επιτύχουμε προσομοιώσεις στροβιλισμών, οπότε ίσως μπορέσουμε να μελετήσουμε καλύτερα αυτά τα φαινόμενα και να ανακαλύψουμε τα Μαθηματικά που τα περιγράφουν». Πρότεινε δηλαδή ένα νοητικό πείραμα (Gedankenexperiment)
EYAΓΓΕΛΟΠΟΥΛΟΣ: Ο διαπρεπής Έλληνας μαθηματικός Δημήτρης Χριστοδούλου εργάζεται, μεταξύ άλλων, και πάνω στα μαθηματικά προβλήματα της υδροδυναμικής. Έχει ασχοληθεί ήδη με κάποια από τα αποκαλούμενα «προβλήματα των ελεύθερων συνόρων» και μου έχει εξηγήσει ότι το πρόβλημα του στροβιλισμού είναι ακόμη απολύτως «ανεξιχνίαστο», διότι δεν υπάρχουν ικανοποιητικά μαθηματικά εργαλεία και μέθοδοι προσέγγισής του. Και τούτο πολλά χρόνια αφότου ο von Neumann έκανε τη δήλωση που μόλις αναφέρατε. Αλλά γιατί να πάμε στο στροβιλισμό για να διαπιστώσουμε του λόγου σας το αληθές; Είναι γνωστό ότι δεν έχουμε ακόμη απαντήσει στο ερώτημα γιατί υπάρχουν οι τρεις συνηθισμένες καταστάσεις της ύλης, η στερεά, η υγρή και η αέρια. Στο πλαίσιο της κβαντικής στατιστικής μηχανικής και αυτή ακόμη η διατύπωση του ερωτήματος, όχι η επίλυσή του, είναι ιδιαίτερα δύσκολη. Αν επιχειρήσουμε την απλοποίηση του προβλήματος και το διατυπώσουμε στο πλαίσιο της κλασικής στατιστικής μηχανικής, καταλήγουμε σ΄ ένα ολοκλήρωμα, του οποίου η απλούστερη υποπερίπτωση αποτελεί το πρόβλημα της «δομής πυκνότητας της διάταξης των σφαιρών», που το πρωτοδιατύπωσε ο Kepler και παραμένει άλυτο εδώ και τετρακόσια χρόνια.
Νομίζω, όμως, πως πρέπει να σημειωθεί και η ακόλουθη σημαντική συνέπεια του γεγονότος ότι μερικές φορές η Φυσική προηγείται των Μαθηματικών προβλημάτων, όπως συνέβη με την αξιοποίηση της θεωρίας Yang-Mils από τον Donaldson στην τετραδιάστατη διαφορική τοπολογία, αλλά και πιο πρόσφατα με την εντυπωσιακή επαναδιατύπωση των αναλλοίωτων του Donaldson από τον Edward Witten, που έγινε με όρους του χώρου λύσεων των μονοπόλων Dirac. Βέβαια, αρχικά ορισμένοι μαθηματικοί αμφισβήτησαν το κατά πόσον οι λύσεις του Witten συνιστούν αποδείξεις με την αυστηρή έννοια του όρου «απόδειξη», γρήγορα όμως αυτές οι αντιρρήσεις ήρθησαν.
ΚΑΣΤΟΡΙΑΔΗΣ: Ακριβώς. Θα ήθελα μάλιστα να τονίσω ότι υπάρχουν και άλλοι τομείς της Φυσικής, εκτός από την υδροδυναμική, στους οποίους συναντάμε άλυτα μαθηματικά προβλήματα. Νομίζω ότι η ίδια η κβαντομηχανική εξακολουθεί να έχει προβλήματα, τα οποία είναι υποχρεωμένη να μελετά προσεγγιστικά. Όλη η περίφημη επανακανονικοποίηση (renormalization) δεν είναι τίποτε άλλο παρά μόνον προσεγγίσεις, δηλαδή, «κόβουν» άκρα από τις εξισώσεις για να μπορέσουν να «πέσουν» σε πιο πεπερασμένες τιμές των λύσεων και να αποφύγουν τους απειρισμούς σε αυτές. Αλλά και οι σύγχρονες κοσμολογικές θεωρίες για τα πληθωριστικά σύμπαντα όπως και οι πρόσφατες θεωρίες των χορδών, αντιμετωπίζουν προβλήματα των οποίων η επίλυση προσκρούει στον τοίχο της μαθηματικής δυσκολίας.
Πέραν όμως από τους τρεις προαναφερθέντες τύπους σχέσεων των Μαθηματικών με τη Φυσική, πρέπει να υπογραμμίσουμε την τέταρτη και πιο βαθιά σχέση τους που έγκειται στη μη ταύτισή τους και οφείλεται στην ύπαρξη τεράστιων κλάδων της μαθηματικής επιστήμης που δεν έχουν και ούτε μπορούν να αποκτήσουν αντιστοιχία στον φυσικό κόσμο. Λόγου χάρη, τα απλούστατα πράγματα, όπως το άπειρο, τα άπειρα της ιεραρχίας του Cantor, δηλαδή η ακολουθία 2N, 22N, 222N, … Τι «φυσικό» νόημα έχει ή θα μπορούσε να αποκτήσει ποτέ η ακολουθία; Το ίδιο ερώτημα ισχύει και για τις «τερατώδεις» τοπολογίες των Bourbaki, κλπ. Aλλά και αυτοί ακόμη οι πραγματικοί αριθμοί, αν εξαιρέσουμε τους ακέραιους και μερικούς ρητούς, δεν ανταποκρίνονται σε καμιά φυσική πραγματικότητα, δεν έχουν κανένα φυσικό νόημα. Εντούτοις, οι άρρητοι, και ιδίως οι μη υπολογίσιμοι άρρητοι (όχι, επί παραδείγματι, οι αλγεβρικοί), οι οποίοι είναι σχεδόν το σύνολο των πραγματικών (οι υπολογίσιμοι πραγματικοί αποτελούν νησίδες μέσα σ’ έναν τεράστιο ωκεανό), αποτελούν τους αριθμούς πάνω στους οποίους δουλεύουν οι μαθηματικοί. Γι’ αυτό το λόγο δεν παραδέχομαι ότι «η νευρωνική θεωρία» είναι ικανή να εξηγήσει τη μαθηματική δραστηριότητα του ανθρωπίνου όντος. Θα αφορούσε, το πολύ, στη στοιχειώδη αριθμητική και την ευκλείδεια γεωμετρία. Με βάση τη δαρβινική άποψη – και ο Freud, παραδόξως, υποστηρίζει ως ένα ορισμένο σημείο μια καντιανοδαρβινική άποψη-, έχουμε a priori μορφές σκέψης, μεταξύ των οποίων φυσικά, και ορισμένες μαθηματικές, οι οποίες επελέγησαν - διαμορφώθηκαν μέσα από τη διαδικασία της φυσικής επιλογής. Έστω, λοιπόν, ότι έτσι δημιουργήθηκε ο μηχανισμός με τον οποίο μπορούμε να σκεφτόμαστε. Έστω επίσης, ότι οι ανάγκες της πραγματικής μας επιβίωσης μας επιβάλλουν να μπορούμε να μετρήσουμε, επί παραδείγματι, ένα κοπάδι κατσίκες. Κατά τι, όμως, μας επιβάλλουν να αποδείξουμε ότι το πλήθος των πρώτων αριθμών είναι άπειρο, σύμφωνα με το γνωστό θεώρημα του Ευκλείδη; Εξάλλου, αυτή η «εξήγηση» αφορά και στα ζώα και συνεπώς δεν μας ενδιαφέρει ιδιαίτερα. Με άλλα λόγια, στο μέτρο που ο εγκέφαλός μας αποτελεί προϊόν της δαρβινικής εξέλιξης, είναι προορισμένος να συλλαμβάνει τη φυσική πραγματικότητα μέσω μαθηματικών εννοιών και κατασκευών, που ανταποκρίνονται στη συνολοταυτιστική διάσταση αυτού που ονομάζω πρώτη φυσική στιβάδα, δηλαδή τη στιβάδα της άμεσης δεδομένης φύσης, συμπεριλαμβανομένης και της βιολογικής. Επί παραδείγματι, ο χώρος είναι τοπικά, έστω κι αν δεν είναι τελικά, ευκλείδειος. Δεν είναι τελικά τελικά ευκλείδειος για λόγους μη ευκλείδειας τοπολογίας του υπομικροκόσμου (βλ. απόψεις Wheeler, κ.ά.). Αλλά, ως «ικανός κατά την χρείαν», όπως λέει και ο Αριστοτέλης, δηλαδή όσο χρειάζεται για την πρακτική, ο χώρος είναι ευκλείδειος τοπικά και στην π΄ρωτη του στιβάδα. Μέσα σ’ αυτό τον ευκλείδειο χώρο λειτουργούν και τα ζώα και τα φυτά, κλπ.
Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι τα ζώα «επιλύουν» προβλήματα διαφορικού λογισμού, έστω κι αν δεν έχουν συνείδηση ότι το κάνουν. Η καμπύλη καταδιώξεως ενός λαγού από έναν σκύλο ελαχιστοποιεί το χρόνο στον οποίο ο σκύλος θα φτάσει το λαγό. Αν ο λαγός αποβλέπει να φτάσει κάπου, ο σκύλος θα κάνει μια καμπύλη η οποία ελαχιστοποιεί το χρόνο στον οποίο θα τον προλάβει. Ο σκύλος εδώ λύνει μια διαφορική εξίσωση. Συνεπώς, εάν υπάρχουν αυτές οι δομές, τις μοιραζόμαστε τουλάχιστον με τα θηλαστικά, αλλά, μάλλον, και με πολλά άλλα ζώα.
Αυτή η άποψη δεν παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον για μας, από τη στιγμή που μας απασχολεί κυρίως ο χωρισμός ανάμεσα στο ανθρώπινο ον και στο απλώς έμβιο ον˙ διότι υπάρχει μια τεράστια συνέχεια, αλλά υπάρχει και χωρισμός. Αυτός ο χωρισμός εμφανίζεται, μεταξύ άλλων, και στα Μαθηματικά. Εμφανίζεται γενικότερα με τη μη λειτουργικότητα των περισσοτέρων πραγμάτων τα οποία κάνει ο άνθρωπος. Ενώ, λοιπόν, το έμβιο όν είναι λειτουργικό σε ότι κάνει, εκτός από ελάχιστα ίσως πράγματα, εμείς, αντιθέτως, είμαστε μη λειτουργικοί σχεδόν στα πάντα, εκτός από ελάχιστα πράγματα. Επί παραδείγματι, η μουσική δεν είναι λειτουργική, το ίδιο και η ποίηση και τα Μαθηματικά˙ αλλά και η Φυσική, και ιδιαίτερα η κοσμολογία, δεν βλέπω να έχουν καμία λειτουργικότητα. Κι αυτό έχει σχέση με την ανάδυση στο ανθρώπινο ον του ριζικού φαντασιακού τόσο ως ατομικού, δηλαδή ως πηγής της φαντασίας του επιμέρους ανθρώπου, όσο και ως κοινωνικού, δηλαδή ως πηγής κοινωνικής δημιουργίας. Και εκεί ανήκει και αυτό τεράστιο μέρος των Μαθηματικών που υπερβαίνει την απλή αριθμητική και την απλή γεωμετρία.
Θα έλεγα, επομένως, απαντώντας στο αρχικό σας ερώτημα για τη φύση τους, ότι τα Μαθηματικά, στον τεράστιο βαθμό που υπερβαίνουν τη συνολοταυτιστική διάσταση κάθε όντος, δημιουργούν ιδεατότητες, όχι πλατωνικές, ήτοι υπερπραγματικές, αλλά σημασίες που έχουν μιαν ισχύ όχι de facto, αλλά de jure, όπως θα έλεγαν οι νομικοί, δηλαδή σημασίες οι οποίες, όσον αφορά κάθε ανθρώπινο ον, επιβάλλονται λογικά αφότου γίνουν αποδεκτά τα αξιώματα. Εδώ υπάρχει η κλασική ερώτηση: Ίσχυε το πυθαγόρειο θεώρημα προ 200000 ετών;
Πρώτη απάντηση: Ναι, διότι αφορά και στην απτή πραγματικότητα, καθόσον η γεωμετρία του σύμπαντος τοπικά είναι ευκλείδεια, ακόμη και μέσα στη γενική θεωρία της σχετικότητας. Το πυθαγόρειο θεώρημα ίσχυε με αυτήν την έννοια και προ 200000 ετών, ως «εμπεδωμένο», ενσωματωμένο στην πραγματικότητα, δηλαδή ως ενυπάρχον στη συνολοταυτιστική μαθηματικοποιήσιμη διάσταση της πραγματικότητας. Όμως, το θεώρημα του Ευκλείδη για το άπειρο πλήθος των πρώτων αριθμών, καθώς και το θεώρημα των Halamard και de la Vallee Poussin για την προσέγγιση του πλήθους των πρώτων οι οποίοι δεν είναι μεγαλύτεροι από έναν δεδομένο φυσικό αριθμό, ίσχυαν προ 200000 ετών; Νομίζω ότι η ερώτηση δεν έχει νόημα. Και θα έλεγα ότι θα ίσχυαν, μόνον με την έννοια ότι κάθε σκεπτόμενο ον, την εποχή εκείνη, εάν δούλευε αρκετά και κυρίως, αν είχε αρκετή φαντασία, θα “έφθανε” σ΄αυτά τα θεωρήματα (....)
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου