Μήκος Planck, χρόνος Planck και μάζα Planck

Max Planck

Κάποτε, στην καφετέρια του Stanford, πρόσεξα μια ομάδα φοιτητών της προπαρασκευαστικής τάξης μου «Φυσική για την ιατρική» να μελετούν σε ένα τραπέζι. «Τι διαβάζετε;», ρώτησα. Η απάντηση με εξέπληξε. Απομνημόνευαν τον πίνακα των σταθερών, μέχρι το τελευταίο δεκαδικό ψηφίο, που υπήρχαν στο εξώφυλλο ενός εγχειριδίου. Ο κατάλογος περιελάμβανε τις εξής σταθερές, μεταξύ άλλων είκοσι περίπου:

h (σταθερά του Planck) = 6,626 068 × 10⁻³⁴ m² kg/s

αριθμός του Avogadro = 6.022 1415 × 10²³

φορτίο ηλεκτρονίου = 1,60217646 × 10^-19 C

c (ταχύτητα του φωτός) = 299 792 458 m·s⁻¹

διάμετρος του πρωτονίου = 1,724×10^-15 m

G (βαρυτική σταθερά) = 6.6742×10⁻¹¹ m³·kg⁻¹·s⁻²

Οι φοιτητές που προετοιμάζονται για την ιατρική εκπαιδεύονται να απομνημονεύουν τεράστια ύλη στα μαθήματά τους για τις άλλες επιστήμες. Είναι καλοί φοιτητές φυσικής, αλλά συχνά προσπαθούν να μάθουν τη φυσική με τον ίδιο τρόπο που μαθαίνουν τη φυσιολογία. Η αλήθεια είναι ότι η φυσική απαιτεί πολύ λίγη απομνημόνευση. Αμφιβάλλω ότι υπάρχουν πολλοί φυσικοί που μπορούν να αναφέρουν κάτι περισσότερο από τη χονδρική τάξη μεγέθους των παραπάνω σταθερών.

Αυτό θέτει ένα ενδιαφέρον ερώτημα; Γιατί οι φυσικές σταθερές είναι τέτοιοι περίπλοκοι αριθμοί; Γιατί να μην είναι απλοί αριθμοί όπως το 2 ή το 5, ή ακόμη και το 1; Γιατί είναι πάντοτε τόσο μικροί (η σταθερά του Planck, το φορτίο του ηλεκτρονίου) ή τόσο μεγάλοι ( ο αριθμός του Avogadro, η ταχύτητα του φωτός);

Οι απαντήσεις πολύ μικρή σχέση έχουν με τη φυσική, αλλά πολύ μεγάλη με τη βιολογία. Ας πάρουμε τον αριθμό του Avogadro. Εκείνο που εκφράζει ....
είναι ο αριθμός των μορίων σε μια ορισμένη ποσότητα αερίου. Ποια ποσότητα αερίου; Η απάντηση είναι μια ποσότητα με την οποία οι χημικοί των αρχών του 19^ου αιώνα μπορούσαν εύκολα να εργαστούν. Με άλλα λόγια μια ποσότητα αερίου ικανή να περιέχεται σε φιάλες ή σε άλλα δοχεία, λίγο πολύ στα ανθρώπινα μέτρα. Η πραγματική αριθμητική τιμή του αριθμού του Avogadro έχει μεγαλύτερη σχέση με τον αριθμό των μορίων στο ανθρώπινο σώμα παρά με κάποια θεμελιώδη φυσική αρχή. [Αλλά τότε γιατί οι άνθρωποι να έχουν τόσα πολλά μόρια; Και πάλι, όμως, αυτό έχει σχέση με τη φύση των μορφών ζωής που διαθέτουν νοημοσύνη, όχι με τη θεμελιώδη φυσική. Απαιτούνται πάρα πολλά μόρια για να δημιουργηθεί μια αρκετά σύνθετη μηχανή, η οποία να είναι σε θέση να σκέπτεται και να διατυπώνει ερωτήματα περί χημείας]

Ένα άλλο παράδειγμα αποτελεί η διάμετρος του πρωτονίου – γιατί είναι τόσο μικρή; Και πάλι, το κλειδί βρίσκεται στην ανθρώπινη φυσιολογία. Η αριθμητική τιμή στον κατάλογο δίνεται σε μέτρα, αλλά τι είναι ένα μέτρο; Ένα μέτρο είναι η μετρική εκδοχή της αγγλικής γυάρδας, η οποία ίσως αναφερόταν κάποτε στην απόσταση από την άκρη της μύτης ενός ανθρώπου έως τις άκρες των δακτύλων του τεντωμένου χεριού του. Αποτελούσε πιθανότατα χρήσιμη μονάδα για τη μέτρηση των υφασμάτων ή των σχοινιών. Το μάθημα από το μικρό μέγεθος του πρωτονίου είναι απλώς ότι απαιτούνται πάρα πολλά πρωτόνια για να συντεθεί ένα ανθρώπινο χέρι. Από την άποψη της θεμελιώδους φυσικής, ωστόσο, δεν υπάρχει τίποτε το ιδιαίτερο στον αριθμό αυτό.

Γιατί, λοιπόν δεν αλλάζουμε τις μονάδες, ώστε να γίνει ευκολότερη η απομνημόνευση των αριθμών; Στην πραγματικότητα, αυτό το κάνουμε συχνά. Στην αστρονομία, για παράδειγμα, το έτος φωτός χρησιμοποιείται ως μονάδα μήκους. Έτσι, η αριθμητική τιμή της ταχύτητας του φωτός δεν είναι τόσο μεγάλη όταν εκφράζεται σε έτη φωτός ανά δευτερόλεπτο. Είναι πολύ μικρή: μόνο 3×10⁻⁸ περίπου. Αλλά τι θα γινόταν αν αλλάζαμε επίσης τις μονάδες χρόνου, από δευτερόλεπτα σε έτη; Εφόσον το φως χρειάζεται ακριβώς ένα έτος για να διασχίσει απόσταση ενός έτους φωτός, η ταχύτητα του φωτός δεν είναι παρά ένα έτος φωτός ανά έτος.

Η ταχύτητα του φωτός είναι ένα από τα θεμελιωδέστερα μεγέθη στη φυσική, οπότε έχει νόημα να χρησιμοποιούμε μονάδες τέτοιες, ώστε η τιμή του c να ισούται με ένα. Αλλά κάτι σαν την ακτίνα του πρωτονίου δεν μοιάζει πολύ θεμελιώδες. Τα πρωτόνια, αποτελούμενα από κουάρκ και άλλα σωματίδια, είναι περίπλοκα αντικείμενα. Γιατί να τους αποδώσουμε τιμητική θέση; Έχει μεγαλύτερο νόημα να επιλέξουμε σταθερές που υπεισέρχονται στους βαθύτερους και καθολικότερους νόμους της φυσικής. Κανείς δεν αμφιβάλλει για το ποιοι είναι οι νόμοι αυτοί.

• Η μέγιστη ταχύτητα οποιουδήποτε αντικειμένου στο Σύμπαν είναι η ταχύτητα του φωτός, c. Αυτό το όριο ταχύτητας δεν αποτελεί απλώς έναν νόμο για το φως, αλλά έναν νόμο για τα πάντα στη Φύση.
• Όλα τα αντικείμενα στο Σύμπαν έλκονται αμοιβαίως με δύναμη ανάλογη τόσο του γινομένου μαζών τους όσο και της βαρυτικής σταθεράς, G. Όλα τα αντικείμενα σημαίνει όλα τα αντικείμενα, χωρίς εξαιρέσεις.
• Για οποιοδήποτε αντικείμενο στο Σύμπαν, το γινόμενο της μάζας και των αβεβαιοτήτων στη θέση και στην ταχύτητά του δεν είναι ποτέ μικρότερο από τη σταθερά του Planck, h.

Τα πλάγια-έντονα γράμματα τονίζουν τον καθολικό χαρακτήρα αυτών των νόμων. Ισχύουν για κάθε πράγμα και για όλα τα πράγματα – για τα πάντα. Οι τρεις αυτοί νόμοι της Φύσης αξίζει πραγματικά να ονομάζονται καθολικοί, πολύ περισσότερο από τους νόμους της πυρηνικής φυσικής ή τις ιδιότητες οποιουδήποτε επιμέρους σωματιδίου όπως το πρωτόνιο. Ίσως φαίνεται τετριμμένο, αλλά μια από τις βαθύτερες ιδέες για τη δομή της φυσικής αναδύθηκε το 1900, όταν ο Max Planck κατάλαβε ότι οι μονάδες μήκους, μάζας και χρόνου μπορούσαν να επιλεχθούν με τρόπο τέτοιο, ώστε να καθιστούν τις τρεις βασικές σταθερές – c, G και h – ίσες με τη μονάδα.

Ο βασικός μετρητικός κανόνας είναι η μονάδα μήκους του Planck. Το μήκος Planck είναι πολύ μικρότερο από το μέτρο, ακόμη και από τη διάμετρο ενός πρωτονίου. Πράγματι, είναι περίπου εκατό δισεκατομμύρια δισεκατομμυρίων φορές μικρότερο από τη διάμετρο του πρωτονίου (σε μέτρα, περίπου 10^-35).

Ακόμη και αν ένα πρωτόνιο μεγεθυνόταν μέχρι να αποκτήσει το μέγεθος του ηλιακού μας συστήματος, το μήκος Planck δεν θα ήταν μεγαλύτερο από έναν ιό. Στον Planck ανήκει αιώνια τιμή, διότι συνειδητοποίησε ότι τέτοιες φανταστικά μικροσκοπικές διαστάσεις πρέπει να διαδραματίζουν βασικό ρόλο σε κάθε έσχατη θεωρία για τον φυσικό κόσμο. Δεν γνώριζε ποιος ήταν αυτός ο ρόλος, αλλά ίσως μάντεψε ότι οι ελαχιστότατοι δομικοί λίθοι της ύλης θα είχαν «μέγεθος Planck».

Η μονάδα χρόνου την οποία χρειαζόταν ο Planck ώστε τα c, G και h να ισούνται με τη μονάδα ήταν επίσης αφάνταστα μικρή – δηλαδή, 10^-42 δευτερόλεπτα, ο χρόνος στον οποίο το φως διανύει ένα μήκος Planck.

Τέλος, υπάρχει η μονάδα Planck για τη μάζα. Δεδομένου ότι το μήκος Planck και ο χρόνος Planck είναι τόσο απίστευτα μικρές τιμές (σε συνηθισμένες, φιλικές προς τη ζωή μονάδες), είναι φυσικό να αναμένουμε ότι η μονάδα μάζας Planck θα είναι πολύ μικρότερη από τη μάζα κάθε συνηθισμένου αντικειμένου.

Αυτό όμως είναι λάθος. Προκύπτει ότι η βασικότερη μονάδα μάζα στη φυσική δεν είναι τρομερά μικρή σε σχέση με τη βιολογική κλίμακα: ισούται περίπου με τη μάζα δέκα εκατομμυρίων βακτηρίων. Ισούται με τη μάζα του μικρότρου αντικειμένου που μπορούμε να διακρίνουμε με γυμνό οφθαλμό – ενός κόκκου σκόνης, για παράδειγμα.

Οι μονάδες αυτές – το μήκος, ο χρόνος και η μάζα Planck – έχουν ένα εξαιρετικό νόημα: ισούνται με το μέγεθος, τον χρόνο ημιζωής και τη μάζα της μικρότερης δυνατής μαύρης τρύπας.
Leonard Susskind «Ο πόλεμος της μαύρης τρύπας» Εκδόσεις κάτοπτρο

Leonard Susskind