Η τετραδιάστατη μπάλα και η τρισδιάστατη σφαίρα (ή η γεωμετρία του σύμπαντος)

σχήμα 1

Σχήμα 1: Θεωρούμε έναν δίσκο ο οποίος έχει ως σύνορό του την περιφέρεια ενός κύκλου. Για τους μαθηματικούς, ο δίσκος αποτελεί μια «δισδιάστατη μπάλα», ενώ η περιφέρεια του κύκλου μια «μονοδιάστατη σφαίρα». Γι αυτούς μπάλα οποιασδήποτε διάστασης, ονομάζεται το «συμπαγές» αντικείμενο, το ανάλογο ας πούμε της μπάλας του μπιλιάρδου, ενώ η σφαίρα αντιστοιχεί στην επιφάνεια της μπάλας, το ανάλογο δηλαδή του μπαλονιού. Η περιφέρεια του κύκλου είναι μονοδιάστατο σχήμα, διότι απαιτείται ένας και μόνο αριθμός για τον προσδιορισμό οποιουδήποτε σημείου πάνω του. Η περιφέρεια του κύκλου αποτελεί το σύνορο (το χείλος) του δίσκου.

σχήμα 2

Σχήμα 2: Τώρα μπορούμε να κατασκευάσουμε μια δισδιάστατη σφαίρα από δυο αντίγραφα του δίσκου του σχήματος 1. Παραμορφώνουμε τους δίσκους δίνοντάς τους τη μορφή ημισφαιρίου, με την προοπτική να αποτελέσει ο ένας το βόρειο ημισφαίριο και ο άλλος το νότιο. Στη συνέχεια κολλάμε τα δυο ημισφαίρια στα όριά τους παίρνοντας μια δισδιάστατη σφαίρα (προσοχή, όχι μπάλα!).....

σχήμα 3

Σχήμα 3: (Αριστερά) Θεωρούμε την οικεία μας δισδιάστατη σφαίρα. Φανταζόμαστε ένα μυρμήγκι που ξεκινά από τον βόρειο πόλο και περπατά κατά μήκος ενός μέγιστου κύκλου, περνά από τον νότιο πόλο και επιστρέφει στην αφετηρία του. Σύμφωνα με το σχήμα 2, η δισδιάστατη σφαίρα προέκυψε από την παραμόρφωση δύο αρχικών δίσκων. Αν απεικονίσουμε την προηγούμενη διαδρομή του μυρμηγκιού πάνω στους αρχικούς δίσκους (Δεξιά), παρατηρούμε ότι το μυρμήγκι ταξιδεύει κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής [1] με κατεύθυνση από το κέντρο προς την περιφέρεια του βόρειου δίσκου [α]. Ακολούθως τη διασχίζει περνώντας στο σημείο που αντιστοιχεί στον νότιο δίσκο, τον οποίο διατρέχει σε ευθεία γραμμή [2 και 3]. Όταν ξαναφθάσει στην περιφέρεια (του νότιου δίσκου αυτή τη φορά, [β]), την ξαναπερνά και γυρίζει πάλι στον βόρειο πόλο δίσκο, όπου συνεχίζει το ταξίδι του επιστρέφοντας τελικά στην αφετηρία του στον βόρειο πόλο [4]. Ακολουθήσαμε την διαδρομή του μυρμηγκιού καθώς πραγματοποιούσε τον περίπλου της δισδιάστατης σφαίρας παρακολουθώντας συγχρόνως την πορεία που διέγραφε πάνω στους δίσκους. Το μόνο σημείο που χρειάζεται προσοχή είναι ότι η κατεύθυνση της κίνησης φαίνεται να αντιστρέφεται κατά το πέρασμα από τον έναν δίσκο στον άλλο. [Αναλογιστείτε κάποιον που διασχίζει τον ισημερινό της Γης και μετατρέπει το βόρειο και νότιο ημισφαίριο σε δίσκους]

σχήμα 4

Σχήμα 4: Τώρα θα περιγράψουμε το σχήμα 3 αλλά κατά μια διάσταση παραπάνω. Θεωρούμε την δισδιάστατη σφαίρα και τον όγκο που αυτή περικλείει (την «τρισδιάστατη μπάλα») και εφαρμόζουμε ότι κάναμε προηγουμένως. Παίρνουμε δυο αντίγραφα της τρισδιάστατης μπάλας και κολλάμε τα σύνορά τους. Δεν μπορούμε να συλλάβουμε εποπτικά πως παραμορφώνονται οι τρισδιάστατες μπάλες στις 4 διαστάσεις, ώστε να σχηματίσουν το ανάλογο των ημισφαιρίων, αλλά αυτό δεν είναι απαραίτητο. Αρκεί να ξέρουμε πως τα αντίστοιχα σημεία κάθε επιφάνειας – που ανήκουν δηλαδή στις δισδιάστατες σφαίρες – ενώνονται μεταξύ τους, όπως γινόταν και με τα αντίστοιχα σημεία των κύκλων.
Οι δυο μπάλες, όταν ενωθούν σχηματίζουν μια τρισδιάστατη σφαίρα, η οποία αποτελεί «την επιφάνεια» μιας τετραδιάστατης μπάλας. Τη μια μπάλα μπορούμε να ονομάσουμε βόρειο ημισφαίριο και την άλλη νότιο. Ο βόρειος πόλος βρίσκεται στο κέντρο της βόρειας μπάλας ( όπως και ο βόρειος πόλος σημειωνόταν πριν στο κέντρο του βορείου δίσκου). Τα ίδια ισχύουν και για το νότιο πόλο.

σχήμα 5

Σχήμα 5: Στη συνέχεια μπορούμε να φανταστούμε ότι αυτές οι τρισδιάστατες μπάλες είναι μεγάλες, άδειες περιοχές του χώρου (όπως το σύμπαν!) και ότι κάποιος ξεκινά με πύραυλο από τον βόρειο πόλο. Τελικά, φθάνει στον «ισημερινό» [1], ο οποίος αντιστοιχεί σε ολόκληρη τη δισδιάστατη σφαίρα που περιβάλλει την βόρεια τρισδιάστατη μπάλα. Διασχίζει τον ισημερινό και περνά στο νότιο ημισφαίριο, όπου και ταξιδεύει σε ευθεία γραμμή φθάνοντας δια μέσου του κέντρου του (του νοτίου πόλου) στην αντίθετη πλευρά του ισημερινού [2 και 3]. Από εκεί περνά πάλι στο βόρειο ημισφαίριο και επιστρέφει στον βόρειο πόλο, την αφετηρία από την οποία ξεκίνησε [4]. Μόλις φανταστήκαμε κάποιον που να ταξιδεύει πάνω στην επιφάνεια μιας τετραδιάστατης μπάλας, εκτελώντας τον περίπλου της! Αυτή η τρισδιάστατη σφαίρα, η οποία αποτελείται από δυο τρισδιάστατες μπάλες που ένωσαν τις σφαιρικές τους επιφάνειες, πιθανόν να είναι και το σχήμα του σύμπαντος, τα όρια του οποίου είναι η επιφάνεια μιας τετραδιάστατης σφαίρας.
.............................
Η διαδικασία που περιγράφηκε μπορεί να επεκταθεί και στις 5 διαστάσεις για την κατασκευή μιας τετραδιάστατης σφαίρας. Πρώτον, η τετραδιάστατη μπάλα περιβάλλεται από μια τρισδιάστατη σφαίρα με τον ίδιο τρόπο που η μια τρισδιάστατη μπάλα περιβάλλεται από μια δισδιάστατη σφαίρα. Παίρνουμε δυο τέτοια αντίγραφα μιας τετραδιάστατης μπάλας και ενώνουμε τα σύνορά τους, δηλ. ενώνουμε όλα τα αντίστοιχα σημεία των δυο τρισδιάστατων σφαιρών. Το αποτέλεσμα θα είναι μια τετραδιάστατη σφαίρα, η οποία με τη σειρά της περιβάλλει μια πενταδιάστατη μπάλα. Ομοίως, η γενική ν–διάστατη σφαίρα μπορεί να κατασκευαστεί από δυο ν-διάστατες μπάλες: αρκεί να ενώσουμε τα σύνορά τους. Κάθε σύνορο αποτελεί μια σφαίρα διάστασης (ν-1), ακριβώς όπως το σύνορο ενός δίσκου [μιας δισδιάστατης μπάλας) είναι η περιφέρεια ενός κύκλου (μια μονοδιάστατη σφαίρα). Το αποτέλεσμα είναι μια ν-διάστατη σφαίρα, η οποία περιβάλλει μια μπάλα (ν+1) διαστάσεων.

scientific american