Δραπετεύοντας από πεδίο βαρύτητας με επιτόπιο άλμα !

Σε μια συζήτηση σχετικά με την αποστολή αστροναυτών σε αστεροειδείς δημιουργήθηκε το εξής ερώτημα: Ποιο είναι το όριο στο μέγεθος ενός αστεροειδούς πέραν του οποίου, ένας αστροναύτης που βρίσκεται πάνω σ’ αυτόν μπορεί με ένα επιτόπιο άλμα (κατακόρυφα προς τα πάνω) να διαφύγει, από το πεδίο βαρύτητας του αστεροειδούς. Για να δοθεί μια γρήγορη απάντηση στο ερώτημα αυτό έγιναν οι κατάλληλες προσεγγίσεις. Για έναν αστεροειδή σχεδόν σφαιρικό με πυκνότητα περίπου ίση με την πυκνότητα της Γης, ένας αστροναύτης μπορεί να ξεφύγει από την βαρυτική έλξη του αστεροειδούς με ένα επιτόπιο άλμα, αν η ακτίνα του είναι μικρότερη από ...
2,5 χιλιόμετρα !
Καταρχήν θεωρήθηκε ότι ένας άνθρωπος στην επιφάνεια της Γης μπορεί με επιτόπιο άλμα προς τα πάνω να φτάσει σε μέγιστο ύψος περίπου:  
h = 1 m (ίσως να φτάνει και σε μεγαλύτερο ύψος, όμως πρέπει να πάρουμε υπόψη μας και την δυσκολία που δημιουργεί η στολή του αστροναύτη...)
Η ταχύτητα με την οποία εκτοξεύεται ο άνθρωπος για να φτάσει σ’ αυτό το ύψος υπολογίζεται εύκολα από την αρχή διατήρησης της ενέργειας

Όπου gγης είναι επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης, η οποία υπολογίζεται από την εξίσωση:

G είναι η σταθερά της παγκόσμιας έλξης, Μγης η μάζα της Γης και Rγης η ακτίνα της Γης που είναι περίπου 6400 Km.
Η εξίσωση για την πυκνότητα της Γης δίνει:

Από τις εξισώσεις (2) και (3) η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης γράφεται

Αντικαθιστώντας την εξ. (4) στην εξ. (1) έχουμε για την αρχική ταχύτητα του ανθρώπου όταν κάνει κατακόρυφο επιτόπιο άλμα

Η ταχύτητα διαφυγής από την επιφάνεια του αστεροειδή υπολογίζεται με αρχή διατήρησης της ενέργειας, υποθέτοντας ότι ο αστροναύτης διαφεύγει από το πεδίο βαρύτητας του αστεροειδούς φθάνοντας σε «άπειρη» απόσταση με ταχύτητα μηδέν

Από την εξίσωση της πυκνότητας για τον αστεροειδή (υποθέτοντας ότι αυτός έχει σφαιρικό σχήμα και ίδια πυκνότητα με τη Γη) προκύπτει

Αντικαθιστώντας στην εξίσωση της ταχύτητας διαφυγής του αστροναύτη από τον αστεροειδή προκύπτει:

Με επιτόπιο άλμα ο αστροναύτης μπορεί να αποκτήσει την ταχύτητα που δίνεται από την εξίσωση (5). Εξισώνουμε την ταχύτητα αυτή με την ταχύτητα διαφυγής - εξ. (6) - και παίρνουμε την ακτίνα του αστεροειδούς

Για Rγης = 6400 km και h = 1m προκύπτει ότι η ακτίνα του αστεροειδή είναι περίπου 2,5 km.

Αν η πυκνότητα του αστεροειδούς ήταν διπλάσια της πυκνότητας της Γης τότε προκύπτει ακτίνα 1,8 km
Aν η πυκνότητα της Γης είναι διπλάσια του αστεροειδούς προκύπτει ακτίνα 3,5 km.