Μια δύσκολη συνδεσμολογία αντιστατών

Διαβάστε επίσης: Ισοδύναμη αντίσταση κυκλώματος

Οι δώδεκα αντιστάτες του παραπάνω «κυβικού» κυκλώματος έχουν την ίδια αντίσταση R.
Οι ακροδέκτες Α και Β θα συνδεθούν με ηλεκτρική πηγή. Ποια είναι η ισοδύναμη (ολική) αντίσταση των δώδεκα αντιστατών;
Αν τροφοδοτήσουμε το σύστημα με ηλεκτρικό ρεύμα έντασης Ι, τότε το ρεύμα αυτό στον κόμβο (a) χωρίζεται σε τρία ρεύματα i₁, i₂ και i₃. Στη συνέχεια το i₁ χωρίζεται στον κόμβο (d) στα i₇ και i₈ κ.ο.κ.


Η παραπάνω «απελπιστική» κατάσταση απλοποιείται αν χρησιμοποιήσουμε επιχειρήματα συμμετρίας.
Έτσι τα ρεύματα i₁, i₂ και i₃ «απομακρύνονται» από τον πρώτο κόμβο (α) είναι ίσα εξαιτίας της συμμετρίας του κυκλώματος, όπως ίσα είναι επίσης και τα i₄, i₅ και i₆ που καταλήγουν στον τελευταίο κόμβο (g).
Εφαρμόζοντας τον 1ο κανόνα του Kirchhoff στους δυο αυτούς κόμβους παίρνουμε ότι το καθένα από αυτά τα 6 ρεύματα είναι Ι/3.
Αλλά και τα υπόλοιπα ρεύματα, i₇ έως και i₁₂, πρέπει λόγω συμμετρίας να είναι ίσα. Εφαρμόζοντας τον 1ο κανόνα Kirchhoff στους υπόλοιπους κόμβους προκύπτει εύκολα ότι

i₇ = i₈ = i₉ = i₁₀ = i₁₁ = i₁₂ = Ι / 6

Η πτώση τάση π.χ. κατά μήκος της διαδρομής A - (a) – (b) – (f) – (g) – B υπολογίζεται από την εξίσωση:

V_A - V_B = i₃ R + i₁₂ R + i₅ R = ΙR/3 + IR/6 + IR/3 = 5IR/6

Για να πάρουμε τελικά:

(Τα σχήματα είναι από το βιβλίο: Foundations of Analog and Digital Electronic Circuits
των Anant Agarwal και Jeffrey Lang)