O λαμπτήρας του Τόμσον

Υποθέστε ότι έχετε ένα επιτραπέζιο φωτιστικό που αναβοσβήνει με ένα διακόπτη. Φανταστείτε τώρα ότι ένας μικρός δαίμονας αρχίζει να πατάει τον διακόπτη με τέτοιο τρόπο, έτσι ώστε ο λαμπτήρας να παραμένει αναμμένος για 1/2 του λεπτού, μετά να σβήνει για 1/4 του λεπτού, μετά να ξανανάβει για 1/8 του λεπτού, να σβήνει για 1/16 του λεπτού και ούτω καθεξής.....

ΟΝ για 1/2 του λεπτού

OFF για 1/4 του λετπού 

ΟΝ για 1/8 του λεπτού

OFF για 1/16 του λετπού 

....κι αν αυτό συνεχιστεί, τίθεται το παρακάτω απλούστατο ερώτημα....

Ποια θα είναι η κατάσταση του λαμπτήρα μετά από ένα λεπτό; 

Μετά από ένα λεπτό, ο διακόπτης θα έχει πατηθεί άπειρες φορές. Το ερώτημα που μας ενδιαφέρει είναι το εξής: Μετά από ένα λεπτό, ο λαμπτήρας θα είναι αναμμένος ή σβηστός;.....
Ίσως κάποιοι αντιδράσουν λέγοντας ότι δεν υπάρχει ούτε τέτοιος δαίμονας ούτε τέτοιος λαμπτήρας. Από φυσική άποψη, είναι αδύνατον να πραγματοποιηθούν αυτά τα διαδοχικά πατήματα του διακόπτη. Αυτή είναι τουλάχιστον η απάντηση που θα έδινε ένας φυσικός ή ένας μηχανικός. Με άλλα λόγια, από ένα σημείο και μετά, θα ήταν αδύνατον να μετρήσουμε το χρονικό διάστημα ως το επόμενο πάτημα του διακόπτη. Αλλά, ακόμη κι αν μπορούσαμε να κάνουμε μια τέτοια μέτρηση, δεν θα μπορούσαμε να αντεπεξέλθουμε στη διαρκώς αυξανόμενη ταχύτητα κινήσεων που θα απαιτούνταν για να πατηθεί ο διακόπτης άπειρες φορές μέσα σε ένα λεπτό.

Αν το χρονικό διάστημα που προηγείται του επόμενου πατήματος του διακόπτη μειωνόταν σε 10^-43 δευτερόλεπτα, τότε η κβαντική βαρυτική δομή του χώρου και του χρόνου δεν θα επέτρεπε σε μια διεργασία να εκτελεστεί με την απαιτούμενη πιστότητα. Αυτό το κβαντικό όριο εμφανίζεται μετά από μόνο περίπου 148 πατήματα του διακόπτη. Άλλοι φυσικοί φραγμοί θα εμφανίζονταν θα εμφανίζονταν πολύ νωρίτερα, αν ο διακόπτης αποτελούνταν από άτομα. Μια συσκευή χρονομέτρησης με μάζα Μ ικανή να διακρίνει ένα ελάχιστο χρονικό διάστημα t ενεργειών λειτουργεί σαν αξιόπιστο ρολόι για έναν μέγιστο χρόνο Τ, όπου

Τ < t² M / h

όπου h η σταθερά του Πλανκ. Μετά από αυτόν τον κρίσιμο χρόνο, το ρολόι θα αχρηστευόταν εξαιτίας της συσσώρευσης κβαντικών διακυμάνσεων (E. Wigner, "Realativistic Invariance and Quantum Phenomena", Review of Modern Physics 29, 255 (1957) και J. D. Barrow, "Wigner Inequalities for a Black Hole", Physics Review D 54, 6563-4(1996).

Παρά τις παραπάνω ενστάσεις, τις οποίες κανείς δεν μπορεί να αμφισβητήσει, οι φιλόσοφοι εξακολουθούν να διερωτώνται αν υπάρχει κάποιος λογικός σκόπελος που να αποκλείει την εκτέλεση άπειρων εργασιών σε πεπερασμένο χρόνο. Η παραδοξότητα αυτού του ερωτήματος έγκειται στο ότι είναι σαν να θέλουμε να βρούμε τον τελευταίο όρο μιας άπειρης ακολουθίας. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, του θετικούς ακέραιους αριθμούς: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...... και ούτω καθεξής, ως το άπειρο. Ποιός είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος αριθμός; Είναι άρτιος ή περιττός; Το ερώτημα είναι ουσιαστικά το ίδιο με το αν ο λαμπτήρας θα είναι αναμμένος ή σβηστός μετά από ένα λεπτό........

Οι άπειρες ακολουθίες συμβάντων, όπως το άναψε-σβήσε του λαμπτήρα του Τόμσον, έχουν κάποιες πολύ παράξενες ιδιότητες.
Έστω ότι κάθε φορά που ανάβει ο λαμπτήρας σημειώνουμε +1 και κάθε φορά που σβήνει -1.
Αθροίζοντας τα διαδοχικά +1 και -1, μπορούμε να βρούμε αν σε κάθε δεδομένη στιγμή ο λαμπτήρας είναι αναμμένος ή σβηστός.
Αν ξεκινήσουμε με το λαμπτήρα αναμμένο, τότε η ακολουθία αναμμένος-σβηστός-αναμμένος -σβηστός-αναμμένος... θα μας δώσει το άθροισμα
1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+....
Όποια στιγμή και να σταματήσουμε θα μπορούμε να υπολογίσουμε το συνολικό άθροισμα.
Αν σταματήσουμε μετά από άρτιο αριθμό κινήσεων, το άθροισμα θα είναι μηδέν και ο λαμπτήρας σβηστός.
Αν σταματήσουμε μετά από περιττό αριθμό κινήσεων, τότε το σύνολο θα είναι +1 και το φως αναμμένο.
Επομένως, αν θέλουμε να βρούμε εάν ο λαμπτήρας θα είναι αναμμένος ή σβηστός μετά από άπειρες κινήσεις, αρκεί να υπολογίσουμε το άπειρο άθροισμα της ακολουθίας.
....
Στην περίπτωση που το άθροισμα είναι μηδέν, το φως μετά από άπειρες κινήσεις θα είναι σβηστό.
Αν το άθροισμα είναι 1, τότε το φως είναι θα αναμμένο. Μπορεί όμως να οδηγηθούμε και σε ένα πιο παράξενο αποτέλεσμα, ακολουθώντας την παρακάτω διάταξη:
S=1-(1-1+1-1+1-1+1-1+...)
Εκ πρώτης όψεως, δεν φαίνεται να υπάρχει κάποιο πρόβλημα ...όμως η ατέρμονη σειρά εντός παρενθέσεων είναι ακριβώς ίδια με την αρχική σειρά S. Άρα,
S=1-S
Οπότε, αυτή τη φορά καταλήγουμε ότι S=1/2 !
Αυτό σημαίνει ότι ο λαμπτήρας δεν είναι ούτε αναμμένος ούτε σβηστός. Βρίσκεται θα λέγαμε σε μια ενδιάμεση κατάσταση.
Οι παραπάνω απαντήσεις μας διδάσκουν κάτι πολύ σημαντικό για τις άπειρες ακολουθίες όρων, καθώς και για τις άπειρες διαδικασίες.
.....Οι εναλλασσόμενες σειρές όπως η S δεν έχουν ένα μοναδικό άθροισμα. Για να βρούμε το άθροισμά τους,
πρέπει να προσδιορίσουμε την ακολουθούμενη διαδικασία αρίθμησης.
Αυτό δεν ισχύει όταν υπολογίζουμε το άθροισμα μιας πεπερασμένης ακολουθίας όρων.
Συνεπώς, μπορούμε να θέσουμε το όριο έτσι ώστε ο λαμπτήρας, μετά από άπειρα πατήματα του διακόπτη, να είναι "αναμμένος" ή "σβηστός".
Από το παράδειγμα αυτό, μπορούμε να αντλήσουμε όμως κι άλλο ένα δίδαγμα, που μας προσγειώνει ακόμα πιο απότομα στην πραγματικότητα.
Αν σταματούσαμε τη σειρά μετά από οποιονδήποτε πεπερασμένο αριθμό. όρων, όσο πολλοί κι αν ήταν αυτοί, το συνολικό άθροισμα θα ήταν πάντα ή 0 ή 1.
Αντίθετα, με την τρίτη μέθοδο άθροισης της σειράς, βρήκαμε ένα άπειρο άθροισμα ίσο με 1/2, το οποίο δεν θα προέκυπτε ποτέ από ένα πεπερασμένο άθροισμα.
Τα άπειρα αθροίσματα, επομένως, έχουν κάποια μυστηριώδη ιδιότητα που δεν εμφανίζεται σε κανένα πεπερασμένο τμήμα τους, όσο μεγάλο κι αν είναι.
Το ερώτημα αν ο λαμπτήρας είναι "σβηστός" ή "αναμμένος" μετά από ένα λεπτό παύει να έχει νόημα. Είναι ένα ερώτημα χωρίς απάντηση.
ΠΗΓΗ: John D. Barrow, "Άπειρο - Τα μαθηματικά της αθανασίας", Εκδόσεις Τραυλός