Πως υπολογίζουμε την περίοδο του απλού εκκρεμούς;

Με την εξίσωση που μαθαίνουμε στο σχολείο

όπου ℓ το μήκος του εκκρεμούς και g η επιτάχυνση της βαρύτητας .... είναι η συνηθισμένη απάντηση….

Όμως η εξίσωση αυτή αληθεύει μόνο προσεγγιστικά  - για μικρές γωνίες ταλάντωσης.
Η περίοδος του απλού εκκρεμούς στην πραγματικότητα εξαρτάται από το πλάτος της ταλάντωσης - την αρχική γωνία θο.
Η εξίσωση της περιόδου εξαρτάται από το πλάτος όπως φαίνεται στην παρακάτω εξίσωση

ή σε πιο κλειστή μορφή

Όμως πιο επίσημη έκφραση για την περίοδο του εκκρεμούς είναι η

Όπου το

είναι ένα πλήρες ελλειπτικό ολοκλήρωμα πρώτου είδους.
Οι τιμές του ολοκληρώματος Κ(k²) υπολογίζονται εύκολα. Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε την τιμή Κ(0.5), που αντιστοιχεί σε ταλάντωση του εκκρεμούς για αρχική γωνία θο=90^o. Αφού μεταβούμε στη διεύθυνση http://www.wolframalpha.com/ γράφουμε στη γραμμή εντολών απλά Κ(0.5) και παίρνουμε την τιμή 1.85407…και η ακριβής περίοδος του εκκρεμούς θα είναι
Τ =2 Το / π = Το 1.1803376…

Αλλά ακόμη κι αν διαθέτουμε μόνο έναν απλό υπολογιστή τσέπης (!!) μπορούμε να κάνουμε τον υπολογισμό του παραπάνω ολοκληρώματος και της περιόδου του εκκρεμούς ως εξής:

βήμα 1ο : Βρίσκουμε τον αριθμό:

βήμα 2ο : Υπολογίζουμε τον αριθμητικό και τον γεωμετρικό μέσο των αριθμών 1 και a0 . Έτσι προκύπτουν οι αριθμοί:

βήμα 3ο : Υπολογίζουμε πάλι τον αριθμητικό και γεωμετρικό μέσο των αριθμών a1 και b1 οπότε προκύπτουν δυο νέοι αριθμοί

βήμα 4ο : Κάνουμε το ίδιο για τους a2 και b2 , οπότε

Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί συμπίπτουν και δεν έχει νόημα να επαναλάβουμε την διαδικασία (εφόσον θέλουμε ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηφίων) διότι θα προκύπτει ο ίδιος αριθμός.
Τελευταίο βήμα: Αντιστρέφουμε την οριακή τιμή που υπολογίστηκε παίρνοντας την τιμή
1/0,847213=1,1804
Που δεν είναι τίποτε άλλο από το πηλίκο Τ / Το !!
Η τελευταία κομψή μέθοδος οφείλεται σε μια όμορφη ιδιότητα των ελλειπτικών ολοκληρωμάτων που πρώτος απέδειξε ο μεγάλος μαθηματικός Κ. F. Gauss.
http://gkalios.blogspot.com/