physicsgg: Η «κινησιακή» ηλεκτρεγερτική δύναμη και ο κανόνας ροής

Αν σκεφτείτε πως λειτουργεί ένα τυπικό ηλεκτρικό κύκλωμα που αποτελείται από μια μπαταρία συνδεδεμένη μ’ έναν ηλεκτρικό λαμπτήρα, θα δείτε ότι ανακύπτει ένα ερώτημα: Ξέρουμε ότι στην πράξη σε ένα τέτοιο κύκλωμα το ρεύμα είναι κάθε χρονική στιγμή το ίδιο σε όλα τα σημεία του. Γιατί όμως, άραγε, να συμβαίνει αυτό, τη στιγμή που η μόνη προφανής κινητήρια δύναμη του ρεύματος βρίσκεται μέσα στην μπαταρία; Σκεπτόμενοι κάπως πρόχειρα, θα περιμέναμε ότι σε ένα τέτοιο κύκλωμα θα έπρεπε να υπάρχει ισχυρό ρεύμα στην μπαταρία και καθόλου ρεύμα στον λαμπτήρα. Ποιο αίτιο λοιπόν κινεί τα φορτία στο υπόλοιπο κύκλωμα και πως είναι δυνατόν η κίνηση αυτή να είναι τέτοια ώστε να υπάρχει το ίδιο ρεύμα σε κάθε σημείο του κυκλώματος; Επιπλέον, δεδομένου ότι τα ηλεκτρόνια σ’ ένα κοινό σύρμα κινούνται πιο αργά και από τα σαλιγκάρια (!), δεν θάπρεπε να περάσει τουλάχιστον μισή ώρα μέχρι το ρεύμα να φτάσει στον λαμπτήρα και να τον ανάψει; Πως είναι δυνατόν όλα τα φορτία ν’ αρχίζουν να κινούνται την ίδια στιγμή;
Απάντηση: Αν το ρεύμα δεν ήταν το ίδιο σ’ όλο το μήκος της διαδρομής (για παράδειγμα, κλάσμα του δευτερολέπτου μετά το κλείσιμο του διακόπτη) τότε θα δημιουργούνταν, σε κάποια περιοχή, συσσώρευση φορτίου και αυτό – είναι το κρίσιμο σημείο – το ηλεκτρικό πεδίο αυτού του φορτίου θα είχε τέτοια κατεύθυνση ώστε να εξομαλύνει την ροή. Υποθέστε για παράδειγμα , ότι το ρεύμα που προσέρχεται στην καμπή του παρακάτω σχήματος είναι μεγαλύτερο από το ρεύμα από το ρεύμα που απέρχεται. Στην καμπή θα αρχίσει να συσσωρεύεται φορτίο.Παράλληλα όμως, θα αρχίσει να δημιουργείται και τοπικό απωστικό πεδίο. Το πεδίο αυτό αντιστέκεται στο προσερχόμενο ρεύμα (επιβραδύνοντάς το) και προωθεί το απερχόμενο (επιταχύνοντάς το), μέχρι να εξισωθούν αυτά τα ρεύματα, οπότε και σταματά η περαιτέρω συσσώρευση φορτίου και αποκαθίσταται η ισορροπία. Είναι ένας όμορφος μηχανισμός που αποκαθιστά αυτομάτως την ομοιομορφία του ρεύματος και μάλιστα τόσο γρήγορα ώστε να μπορείτε να υποθέτετε δικαιολογημένα ότι το ρεύμα είναι πρακτικά το ίδιο σε ολόκληρο το κύκλωμα, ακόμη κι όταν ταλαντώνεται σε ραδιοφωνικές συχνότητες.

Δυο, λοιπόν είναι στην πραγματικότητα οι δυνάμεις που έχουν να κάνουν με την κίνηση του ρεύματος στο κύκλωμα: η δύναμη της πηγής, f_S, που συνήθως είναι περιορισμένη σε κάποιο τμήμα του κυκλώματος (στην μπαταρία, ας πούμε), και η ηλεκτροστατική δύναμη που εξομαλύνει τη ροή και επικοινωνεί την επίδραση της πηγής στα απομακρυσμένα σημεία του κυκλώματος: f=f_S+E.
Πολλά και διάφορα μπορούν να είναι τα φυσικά αίτια που προκαλούν την f_S: σε μια μπαταρία είναι κάποια χημική δύναμη. Σε έναν πιεζοηλεκτρικό κρύσταλλο είναι μια μηχανική πίεση που μετατρέπεται σε ηλεκτρικό παλμό. Σε ένα θερμοζεύγος είναι μια διαφορά θερμοκρασίας. Σε ένα φωτοκύτταρο είναι το φως. Όσο για την γεννήτρια Van der Graaff, τα ηλεκτρόνια κυριολεκτικά φορτώνονται σ’ έναν κινούμενο ιμάντα μεταφοράς, από τον οποίο και παρασύρονται. Όποιος και να είναι ο μηχανισμός, το αποτέλεσμα που επιφέρει καθορίζεται από το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της f κατά μήκος του κυκλώματος:

$\mathcal{E} = \oint \vec{f} \cdot d \vec{\ell} = \oint \vec{f_{S}} \cdot d \vec{\ell}$ (1)

(Δεδομένου ότι $\oint \vec{E} \cdot d \vec{\ell} = 0$ για ηλεκτροστατικά πεδία, δεν έχει διαφορά είτε χρησιμοποιήσετε το f είτε το f_S). Η $\mathcal{E}$ ονομάζεται ηλεκτρεγερτική δύναμη,ή ΗΕΔ του κυκλώματος. Ο όρος είναι ανεπιτυχής, αφού δεν πρόκειται καν για δύναμη – είναι το ολοκλήρωμα κάποιας δύναμης ανά μονάδα φορτίου.
Η ΗΕΔ δεδομένου ότι είναι το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της f_S, μπορεί επίσης να ερμηνευτεί και ως έργο που δαπανάται από την πηγή ανά μονάδα φορτίου. Όμως η ερμηνεία αυτή μπορεί να περιπλέξει τα πράγματα, οπότε η (1) είναι προτιμότερη.

Κινησιακές ΗΕΔ

Μια άλλη εξίσου γνωστή πηγή ΗΕΔ είναι η γεννήτρια. Στις γεννήτριες εκμεταλλευόμαστε τις λεγόμενες κινησιακές ΗΕΔ, δηλαδή εκείνες τις ΗΕΔ που δημιουργούνται όταν μετακινούμε έναν αγωγό μέσα σε ένα μαγνητικό πεδίο.
Στη σκιασμένη περιοχή του σχήματος υπάρχει ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο Β κάθετο προς την σελίδα. Αν όλος ο βρόχος κινηθεί προς τα δεξιά με ταχύτητα υ, στα φορτία του τμήματος ab θα ασκηθεί μαγνητική δύναμη, της οποίας η κατακόρυφη συνιστώσα qυΒ θα προκαλέσει την εμφάνιση ενός ρεύματος που θα διαρρέει τον βρόχο κατά την φορά των δεικτών του ρολογιού. Η ΗΕΔ είναι

$\mathcal{E} = \oint \vec{f} \cdot d \vec{\ell} = \oint \vec{f}_{\mu\alpha\gamma \nu} \cdot d \vec{\ell}=vBh$ (2)

όπου h το πλάτος του βρόχου.
Παρατηρείστε ότι το ολοκλήρωμα στον προσδιορισμό του $\mathcal{E}$ [εξ. (1) και (2)] υπολογίζεται σε μία χρονική στιγμή – πάρτε το «στιγμιότυπο» του βρόχου και κάντε την ολοκλήρωση. Συνεπώς, το $d \vec{\ell}$ για το τμήμα ab , δείχνει ευθεία πάνω, παρόλο που ο βρόχος κινείται προς τα δεξιά. Σε αυτό δεν χωράει αντίρρηση – έτσι ορίζεται η ΗΕΔ – είναι όμως σημαντικό να το αποσαφηνίσουμε.
Ειδικότερα, αν και η ύπαρξη της ΗΕΔ οφείλεται στη μαγνητική δύναμη, σίγουρα δεν είναι αυτή η δύναμη που παράγει το έργο (μην ξεχνάτε ότι οι μαγνητικές δυνάμεις ποτέ δεν παράγουν έργο). Ποιος, λοιπόν, παρέχει την ενέργεια η οποία θερμαίνει την αντίσταση;
Ο άνθρωπος που μετακινεί τον βρόχο!
Χωρίς να μπούμε σε περισσότερες λεπτομέρειες [1], μπορούμε να τονίσουμε ότι για να υπολογίσουμε την ΗΕΔ ολοκληρώνουμε πάνω στον βρόχο σε μία χρονική στιγμή, ενώ για να υπολογίσουμε το το έργο που παράγεται ακολουθούμε το φορτίο στην κίνησή του γύρω από τον βρόχο. H f_ανθρ δεν συνεισφέρει στην ΗΕΔ, γιατί είναι κάθετη στον αγωγό. Η f_μαγν δεν συνεισφέρει στο έργο, γιατί είναι κάθετη στην κατεύθυνση της κίνησης των φορτίων.

Ο κανόνας ροής

Ένας ιδιαίτερα όμορφος τρόπος για να εκφράσουμε την ΗΕΔ που δημιουργείται σε έναν κινούμενο βρόχο είναι ο εξής: Έστω Φ η ροή του μαγνητικού πεδίου μέσα από τον βρόχο $\Phi \equiv \int \vec{B} \cdot d \vec{S}$ . Για τον ορθογώνιο βρόχο του σχήματος προφανώς: Φ=Βhx. Καθώς ο βρόχος κινείται, η ροή μειώνεται με ρυθμό: dΦ/dt=Bhdx/dt=–Bhυ (αφού dx/dt<0). Συγκρίνοντας το αποτέλεσμα αυτό με την εξίσωση (2), βλέπουμε ότι η ΗΕΔ που δημιουργείται στον βρόχο έχει απλώς αντίθετο πρόσημο από τον ρυθμό μεταβολής της ροής που διέρχεται από τον βρόχο. Επομένως μπορούμε να γράψουμε:

$\mathcal{E} = - \frac{d \Phi}{dt}$ (3)

Αυτός είναι ο κανόνας ροής για τις κινησιακές ΗΕΔ. Εκτός από την αξιοθαύμαστη απλότητά του, έχει και το πλεονέκτημα να εφαρμόζεται σε μη ορθογώνιους βρόχους που κινούνται σε τυχαίες κατευθύνσεις μέσα σε μη ομογενή μαγνητικά πεδία. Μάλιστα εφαρμόζεται ακόμη κι αν το σχήμα του βρόχου αλλάζει [1].

Στον ορισμό της ΗΕΔ (εξ. 1) υπάρχει μια ασάφεια όσον αφορά το πρόσημο: Προς ποια κατεύθυνση γύρω από τον βρόχο πρέπει να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα; Η ασάφεια αυτή αντισταθμίζεται από μία άλλη που υπάρχει στον ορισμό της ροής ( $\Phi = \int \vec{B} \cdot d \vec{S}$ ): ποιά είναι η θετική φορά για το $d \vec{S}$ ; Κατά την εφαρμογή του κανόνα της ροής, η συνέπεια στο πρόσημo ο εξασφαλίζεται (όπως πάντα) από τον κανόνα του δεξιού χεριού. Αν η θετική φορά διαγραφής του βρόχου είναι εκείνη με την οποία κλείνουν τα δάκτυλα του δεξιού χεριού, τότε ο αντίχειρας δείχνει προς την κατεύθυνση του $latex d \vec{S} $. Αν λοιπόν η ΗΕΔ προκύψει αρνητική, αυτό σημαίνει ότι το ρεύμα διαρρέει με αρνητική φορά το κύκλωμα.

Ο κανόνας ροής μας παρέχει έναν κομψό και ταχύ τρόπο υπολογισμού των κινησιακών ΗΕΔ. Δεν περιέχει τίποτε νέο από πλευράς Φυσικής, παρά μόνο την δύναμη Lorentz. Αλλά, μπορεί να οδηγήσει σε σφάλμα αν δεν είμαστε προσεκτικοί. Ο κανόνας ροής υποθέτει πως έχετε ένα αγώγιμο βρόχο που μπορεί να κινηθεί, να τεντώσει ή να παραμορφώνεται (συνεχώς), αλλά προσοχή στις προεκτάσεις αγωγών που επιτρέπουν διάφορες διαδρομές ρεύματος ή τους διακόπτες ή τις επαφές που ολισθαίνουν.
Για παράδειγμα το παρακάτω κύκλωμα: η μαγνητική ροή αυξάνεται στον πρώτο βρόχο και μειώνεται στον δεύτερο βρόχο. Ο κανόνας της ροής θα έδινε μηδέν μεταβολή της μαγνητικής ροής και μηδενική ΗΕΔ, κάτι που φυσικά δεν ισχύει, αφού Ɛ_επ,ΚΛ=Βℓυ

έπαγωγη

Άλλο ένα γνωστό «παράδοξο του κανόνα ροής» βλέπουμε στο παρακάτω κύκλωμα:
Μετακινούμε τον διακόπτη από το α στο b και η ροή που διασχίζει το κύκλωμα διπλασιάζεται, αλλά δεν υπάρχει κινησιακή ΗΕΔ και το αμπερόμετρο προφανώς δεν δείχνει επαγωγικό ρεύμα.

Άλλη μια περίπτωση που αποτυγχάνει ο κανόνας της ροής είναι στο επόμενο κύκλωμα, όπου ο μεταλλικός δίσκος περιστρέφεται γύρω από έναν κατακόρυφο άξονα , μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο και το κύκλωμα κλείνει με μια επαφή που αγγίζει την περιφέρεια του δίσκου: sliding contact