Οι έννοιες «jerk», «snap», «crackle» και «pop» στη φυσική

 Ο Matt Visser, όπως και οι Maciej Dunajski-Gary Gibbons, στις εργασίες τους με τίτλους «Jerk, snap, and the cosmological equation of state» και «Cosmic Jerk, Snap and Beyond» αντίστοιχα, χρησιμοποιούν τους όρους «jerk» και «snap» για να περιγράψουν την διαστολή του σύμπαντος.

Τι σχέση έχουν οι όροι «jerk» και «snap» με την κινηματική του σύμπαντος;

Το σύμπαν που παρατηρούμε σήμερα προέκυψε πριν από 14 δισεκατομμύρια χρόνια περίπου με την Μεγάλη Έκρηξη και από τότε διαστέλλεται. Η διαστολή του σύμπαντος σε κάποια χρονική στιγμή άρχισε να επιβραδύνεται εξαιτίας των βαρυτικών ελκτικών δυνάμεων.  Όμως, κατά τα τελευταία 5 δισεκατομμύρια χρόνια, συνέβη κάτι πολύ ενδιαφέρον. Η διαστολή του σύμπαντος άρχισε να επιταχύνεται. Οι φυσικοί αποδίδουν την επιταχυνόμενη διαστολή του σύμπαντος στην σκοτεινή ενέργεια. Ενώ καθώς διαστέλλεται το σύμπαν η πυκνότητα της ύλης μειώνεται, αυτό δεν συμβαίνει με την σκοτεινή ενέργεια. Έτσι, η «απωστικές δυνάμεις» που δημιουργεί η σκοτεινή ενέργεια υπερίσχυσαν των ελκτικών δυνάμεων της βαρύτητας, με αποτέλεσμα ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας διαστολής του σύμπαντος να μεταβληθεί από επιβράδυνση (αρνητική επιτάχυνση) σε θετική επιτάχυνση. Επειδή όμως και η επιτάχυνση μεταβάλλεται, το φυσικό μέγεθος «jerk» που αναφέρεται στις προαναφερθείσες εργασίες είναι ο ρυθμός μεταβολής της επιτάχυνσης, ενώ το φυσικό μέγεθος «snap» είναι ο ρυθμός μεταβολής του μεγέθους «jerk»!

Πρόκειται για φυσικά μεγέθη που εν γένει χρησιμοποιούνται στην φυσική.

Αλλά ας βάλουμε τα πράγματα σε μια σειρά:

Ο ρυθμός μεταβολής της θέσης ενός σώματος ονομάζεται ταχύτητα: 

Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται επιτάχυνση: 

O ρυθμός μεταβολής της επιτάχυνσης ενός σώματος ονομάζεται  jerk (μεταφράζεται ως τράνταγμα ή τίναγμα ή απότομη κίνηση και όχι μόνο):  

Ο ρυθμός μεταβολής του μεγέθους jerk ονομάζεται snap (γρήγορο ή αστραπιαίο ή αιφνιδιαστικό): 

Το snap μερικές φορές αναφέρεται και ως jounce (ταρακουνώ, τραντάζω).

… και έπεται συνέχεια …

O ρυθμός μεταβολής του μεγέθους snap ενός σώματος ονομάζεται crackle (κροτάλισμα ή τρίξιμο): 
O ρυθμός μεταβολής του μεγέθους crackle ονομάζεται pop: 

Δεν υπάρχει όρος για την έβδομη παράγωγο … διότι στην πράξη δεν χρησιμοποιείται πολύ συχνά.

Οι έννοιες «Ορμή», «Δύναμη», «Yank», «Tug», «Snatch» και «Shake»

Eκτός από την παραπάνω (ανεπίσημη ακόμα) ονοματολογία των ανώτερων παραγώγων της θέσης ενός αντικειμένου, υπάρχει και η ονοματολογία των αντίστοιχων «δυνάμεων»:

Η Ορμή ισούται με το γινόμενο της μάζας επί την ταχύτητα

Η Δύναμη ισούται το γινόμενο της μάζας επί την επιτάχυνση

Το Yank (απότομο τράβηγμα) είναι το γινόμενο της μάζας επί το μέγεθος jerk

Το Tug (ισχυρό και απότομο τράβηγμα) είναι το γινόμενο της μάζας επί το snap

To Snatch (απότομη κίνηση αρπαγής) ισούται με το γινόμενο της μάζας επί το μέγεθος crackle
και τέλος το Shake (σέικ) ισούται με το γινόμενο της μάζας επί το μέγεθος ποπ!!

πηγές: plus.google.com/+johncbaez999/posts/Ep2eTwGpRK9 – http://ath.ucr.edu/home/baez/physics/General/jerk.html

https://physicsgg.me/2017/10/25/%ce%bf%ce%b9-%ce%ad%ce%bd%ce%bd%ce%bf%ce%b9%ce%b5%cf%82-jerk-snap-crackle-%ce%ba%ce%b1%ce%b9-pop-%cf%83%cf%84%ce%b7-%cf%86%cf%85%cf%83%ce%b9%ce%ba%ce%ae/

Ολυμπιακή Φυσική: Ένας λάθος υπολογισμός στο άλμα επί κοντώ

Το παγκόσμιο ρεκόρ στο άλμα επί κοντώ των ανδρών είναι 6,14 μέτρα και πραγματοποιήθηκε το 1994 από τον Σεργκέι Μπούμπκα. Το αντίστοιχο παγκόσμιο ρεκόρ στις γυναίκες είναι 5,04 μέτρα και το κατέχει η Ελένα Ισινμπάγιεβα από το 2009.
Στην χτεσινή ημέρα των Ολυμπιακών αγώνων η Ισινμπάγιεβα έχασε από τις Τζένιφερ Σουρ (ΗΠΑ) και Γιαρισλέι Σίλβα (Κούβα). 
Μήπως η οριζόντια ταχύτητα που ανέπτυσσε η Ισινμπάγιεβα στις αποτυχημένες προσπάθειές της (λίγο πριν την εκτόξευσή της προς τα πάνω)  δεν ήταν αυτή που έπρεπε; Ας κάνουμε μερικούς υπολογισμούς χρησιμοποιώντας απλή Φυσική ...

Η Τζένιφερ Σουρ τρέχει στον διάδρομο αυξάνοντας την κινητική της ενέργεια 

Η κινητική της ενέργεια μετατρέπεται αρχικά σε ελαστική δυναμική ενέργεια στο λυγισμένο κοντάρι

Οι άλτες επί κοντώ, μετατρέπουν την κινητική τους ενέργεια σε δυναμική ενέργεια του λυγισμένου κονταριού. Στη συνέχεια και ενώ η οριζόντια ταχύτητά τους έχει μηδενιστεί, η ελαστική δυναμική ενέργεια μετατρέπεται σε δυναμική ενέργεια λόγω ύψους (βαρυτική).

Η ελαστική δυναμική ενέργεια στη συνέχεια μετατρέπεται σε βαρυτική δυναμική ενέργεια (φωτο: nytimes.com)

Στην καλύτερη περίπτωση, αν υποθέσουμε ότι δεν υπάρχει αντίσταση του αέρα και ότι η μετατροπή της κινητικής ενέργειας (K=mv²/2) από το σπριντ του αθλητή μετατρέπεται εξολοκλήρου σε βαρυτική δυναμική ενέργεια (U=mgH) χωρίς απώλειες, μπορούμε πολύ εύκολα να υπολογίσουμε την ταχύτητα v που πρέπει να αποκτήσει ο επικοντιστής για να φτάσει σε ύψος H:

mv²/2=mgH

ή

όπου g=9,81m/s²
Ποια είναι η ταχύτητα λοιπόν που πρέπει να αναπτύξει ένας αθλητής του άλματος επί κοντώ για να φτάσει σε ύψος Η = 5m;
Η παραπάνω εξίσωση δίνει

και για να φτάσει σε ύψος Η = 6m θα πρέπει να αναπτύξει ταχύτητα

10,85 m/s

Όμως αυτές οι ταχύτητες συγκρίνονται με τις μέσες ταχύτητες που αναπτύσσουν οι δρομείς των 100 μέτρων (η μέση ταχύτητα που ανέπτυξε ο Μπολτ στον προχθεσινό τελικό των 100 μέτρων ήταν 100 m / 9,64 s = 10,18 m/s !!).
Με λίγα λόγια αν ο επικοντιστής αφήσει το κοντάρι του και τρέξει μια κούρσα 100 μέτρων θα μπορούσε να κάνει έναν θαυμάσιο χρόνο. Προφανώς οι ταχύτητες που υπολογίζονται βάσει του προηγούμενου συλλογισμού είναι άπιαστες για τους άλτες του επί κοντώ.

Τότε που βρίσκεται το λάθος;

.... περισσότερα εδώ: physicsgg.wordpress.com

Ολυμπιακή Φυσική: το απίστευτο άλμα εις μήκος του Bob Beamon

Ο Bob Beamon αγωνίζεται στο άλμα εις μήκος στις 19 Οκτωβρίου 1968 στους Ολυμπιακούς Αγώνες στο Μεξικό.

Ακόμη και σήμερα υπάρχουν άνθρωποι που υποστηρίζουν ότι το εκπληκτικό άλμα του Μπομπ Μπίμον στα 8,9 μέτρα, στους Ολυμπιακούς Αγώνες του Μεξικό το 1968, οφειλόταν στο υψόμετρο - σχεδόν 2300 μέτρα πάνω από την επιφάνεια της θάλασσας - που βρίσκεται η Πόλη του Μεξικού. Στο υψόμετρο αυτό η δύναμη του βάρους είναι μικρότερη σε σχέση με το βάρος στην επιφάνεια της θάλασσας, όπως και η πυκνότητα του αέρα. Πόσο όμως βοήθησαν οι δυο αυτοί παράγοντες στην επίτευξη αυτού του εξωπραγματικού, για την εποχή εκείνη, παγκοσμίου ρεκόρ στο άλμα εις μήκος; (υπενθυμίζεται ότι το ρεκόρ του Bob Beamon καταρρίφθηκε 21 χρόνια μετά, στο παγκόσμιο πρωτάθλημα στίβου στο Τόκιο το 1991. Αρχικά από τον Carl Lewis με άλμα 8,91 μέτρων και στην συνέχεια από τον Mike Powell  που απάντησε με άλμα 8,95 μέτρων!)

Η εξέλιξη του παγκοσμίου ρεκόρ στο άλμα εις μήκος

Ας δούμε πρώτα την επίδραση της βαρύτητας

Το βάρος B ενός σώματος μάζας m εξαρτάται από το ύψος h από την επιφάνεια της Γης ως εξής:

 όπου G σταθερά της παγκόσμιας έλξης, M_Γ η μάζα της Γης και R_Γ η ακτίνα της Γης.
Στην Πόλη του Μεξικού, που βρίσκεται σε υψόμετρο 2240 μέτρα από την επιφάνεια της θάλασσας - θεωρώντας ότι η ακτίνα της Γης είναι 6000 χιλιόμετρα - το βάρος ενός σώματος σύμφωνα με την παραπάνω εξίσωση μειώνεται κατά 99,925% σε σχέση με το βάρος του στην επιφάνεια της θάλασσας. Αρκεί αυτή η διαφορά για την επίτευξη ενός νέου παγκοσμίου ρεκόρ στο άλμα εις μήκος;
Ίσως θα έπρεπε να συνυπολογίσουμε κι άλλους παράγοντες. Η Γη δεν είναι εντελώς σφαιρική κι ούτε έχει ομοιόμορφη πυκνότητα, όπως προϋποθέτει η εξίσωση του βάρους που χρησιμοποιήσαμε παραπάνω. Επίσης, θάπρεπε να ληφθεί υπόψη και η περιστροφή της Γης. Η φυγόκεντρη δύναμη εξαιτίας της περιστροφής, που μεγαλώνει όσο πλησιάζουμε στον ισημερινό της Γης, πρέπει να αφαιρεθεί από την ελκτική δύναμη της βαρύτητας. Η Πόλη του Μεξικού βρίσκεται 19,5^o πάνω από τον ισημερινό και στο ίδιο γεωγραφικό πλάτος στην επιφάνεια της θάλασσας η περιστροφή της Γης θα προκαλούσε ένα φαινόμενο βάρος ίσο με το 99,69% της τιμής του στον Βόρειο Πόλο όπου δεν υπάρχει φυγόκεντρη δύναμη.
Παίρνοντας υπόψη και τους δυο παράγοντες – υψόμετρο και περιστροφή της Γης – τελικά το βάρος ενός σώματος στην Πόλη του Μεξικού μειώνεται κατά 99,92% (σε σχέση με το βάρος του σώματος στην επιφάνεια της θάλασσας στον Βόρειο Πόλο!)
Με άλλα λόγια η μείωση του βάρους δεν κάνει την διαφορά.

Τι γίνεται όμως με την μικρή πυκνότητα του αέρα;

Μια δύναμη που επηρεάζει τον άλτη του μήκους είναι η δύναμη της αντίστασης του αέρα. Η δύναμη αυτή μπορεί να εκτιμηθεί από την εξίσωση

 όπου V η ταχύτητα του σώματος, Α και C παράμετροι που εξαρτώνται από το σχήμα και το μέγεθος του σώματος και ρ η πυκνότητα του αέρα.
Η πυκνότητα του αέρα μειώνεται καθώς αυξάνεται το υψόμετρο και η εξάρτησή της από το ύψος είναι δύσκολο να “μοντελοποιηθεί”. Παίζουν ρόλο η πίεση και η θερμοκρασία – δυο μεγέθη που εξαρτώνται από τις καιρικές συνθήκες. Ωστόσο μια προσέγγιση που θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για την πυκνότητα του αέρα βρίσκεται ΕΔΩ: en.wikipedia.org
Με την προσέγγιση αυτή η πυκνότητα αέρα στην επιφάνεια της θάλασσας υπολογίζεται 1,22 kg/m³ και σε υψόμετρο 2240 μέτρων 0,98 kg/m³.

Μπορεί αυτή η ελάττωση της πυκνότητας να δημιουργήσει ένα παγκόσμιο ρεκόρ στο άλμα εις μήκος;

Η κίνηση ενός σώματος που κινείται μέσα στο αέρα δεν είναι τόσο απλό πρόβλημα. Ένας τρόπος να λυθεί το πρόβλημα να αντληθούν δεδομένα από το βίντεο του άλματος και τα δεδομένα αυτά να χρησιμοποιηθούν στην αριθμητική επίλυση του προβλήματος.


http://youtu.be/DEt_Xgg8dzc

Μελετώντας το άλμα του Bob Beamon, μπορούμε να υπολογίσουμε τον χρόνο πτήσης του αθλητή, το μέγιστο ύψος από την επιφάνεια του εδάφους και την αρχική του ταχύτητα.
Σύμφωνα με τον Rhett Allain στο wired από το βίντεο του άλματος (υποθέτοντας προς στιγμήν ότι δεν υπάρχει αντίσταση αέρα) προκύπτει ότι η οριζόντια συνιστώσα της αρχικής ταχύτητας είναι 10,1 m/s και η κατακόρυφη 4,5 m/s. Κάνοντας στη συνέχεια αριθμητικούς υπολογισμούς κατέληξε σε 3 γραφικές παραστάσεις της κατακόρυφης θέσης συναρτήσει της οριζόντιας θέσης. Αυτές αντιστοιχούν σε 3 διαφορετικές περιπτώσεις, σύμφωνα με το μοντέλο της αριθμητικής προσέγγισης που χρησιμοποίησε.
Η πρώτη (μπλε καμπύλη) αντιστοιχεί σε ένα άλμα στην επιφάνεια της θάλασσας χωρίς αέρα. Η δεύτερη (κόκκινη καμπύλη) αντιστοιχεί σε άλμα στην επιφάνεια της θάλασσας με αέρα, και η τρίτη (πράσινη καμπύλη) σε άλμα στην Πόλη του Μεξικού (υψόμετρο + αέρας).

 Δεν υπάρχει μεγάλη διαφορά, αλλά υπάρχει μια διαφορά.
Το μοντέλο με την αντίσταση του αέρα στο επίπεδο της θάλασσας δίνει ένα άλμα 8,89 μέτρων, ενώ στην Πόλη του Μεξικού (με αέρα) προκύπτει ένα άλμα 8,96 μέτρων. Βλέπουμε δηλαδή μια διαφορά μόνο 7 εκατοστών. Καμία σχέση με την αύξηση του ρεκόρ κατά 55 εκατοστά.
Συνεπώς, το τεράστιο κατόρθωμα του Bob Beamon δεν οφειλόταν, ούτε στην μικρότερη δύναμη της βαρύτητας, ούτε στην μικρότερη πυκνότητα του αέρα στο υψόμετρο της Πόλης του Μεξικού. Μπορούμε να πούμε με καλή ακρίβεια ότι οφειλόταν κατά ~99,9 % στις δυνάμεις του ίδιου του αθλητή και σε λιγότερο από 0,1% στους ευνοϊκούς παράγοντες που δημιουργεί το υψόμετρο.
Το συμπέρασμα αυτό προκύπτει εφαρμόζοντας τους νόμους της Φυσικής. Δεν ξέρω τι συμπέρασμα θα προέκυπτε αν παίρναμε υπόψη και τους νόμους της Χημείας....
ΠΗΓΗ: www.wired.com

Ελικόπτερο – ποδήλατο απογειώνεται

... για 50 δευτερόλεπτα
Φοιτητές του Πανεπιστημίου του Maryland έσπασαν το ρεκόρ για τη διάρκεια της πτήσης ελικοπτέρου (Gamera ΙΙ) που κινείται με την ανθρώπινη δύναμη.
Ο «πιλότος» του ελικοπτέρου - που κατασκευάστηκε από τους φοιτητές της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου του Maryland - χρησιμοποιεί κυριολεκτικά χέρια και πόδια για να το ανυψώσει, πετυχαίνοντας ρεκόρ πτήσης διάρκειας 50 δευτερολέπτων

http://youtu.be/H0qfgBeb35Y

Το προηγούμενο ρεκόρ κατείχε μια ιαπωνική ομάδα που κατάφερε να διατηρήσει ένα παρόμοιο ελικόπτερο πάνω από το έδαφος για 19 δευτερόλεπτα.
Η κατακόρυφη απογείωση μιας τέτοιας κατασκευής (με την δύναμη του ανθρώπου) είναι πολύ δυσκολότερη από την οριζόντια πτήση. Το πρώτο αεροσκάφος αυτού του είδους πέταξε το 1961 στο Southampton, και το 1988, ένα αμερικανικό σκάφος κατάφερε ρεκόρ πτήσης 115 χιλιομέτρων ανάμεσα στη Σαντορίνη και την Κρήτη.
Το ελικόπτερο Gamera ΙΙ διαθέτει τέσσερις έλικες με διάμετρο δεκατριών μέτρων και ζυγίζει 32 κιλά (15 κιλά λιγότερο σε σχέση με την περσινή κατασκευή) και χρειάζεται 460 ισχύ Watt για να πετάξει.
Ο τελικός στόχος είναι το βραβείο των 250.000 δολαρίων που προσφέρει η Αμερικανική Εταιρεία Ελικοπτέρου, για το πρώτο ελικόπτερου που θα κατορθώσει να αιωρηθεί για 60 δευτερόλεπτα, σε ύψος τουλάχιστον 3 μέτρα – χρησιμοποιώντας την ανθρώπινη δύναμη.
Η επόμενη προσπάθεια κατάρριψης του ρεκόρ προγραμματίστηκε για τον επόμενο Αύγουστο.
www.lefigaro.fr

Το ελατήριο που “αντιστέκεται” στο νόμο της βαρύτητας

Ένα βίντεο υψηλής ταχύτητας αναδεικνύει την "άρνηση" κατακόρυφων ελατηρίων να υπακούσουν στο νόμο της βαρύτητας. Ελατήρια σε κατακόρυφη διεύθυνση αφήνονται να πέσουν ελεύθερα προς το έδαφος. Ενώ το πάνω τμήμα του ελατηρίου αρχίζει πέφτει κανονικά, το κατώτερο τμήμα παραμένει ακίνητο. Παρακολουθείστε το πείραμα:

http://youtu.be/uiyMuHuCFo4
Προφανώς οι σπείρες του κατώτερου τμήματος του ελατηρίου - όταν αυτό αφήνεται να πέσει προς τα κάτω - εκτός από τη δύναμη του βάρους "αισθάνονται" ακόμη την δύναμη της τάσης του ελατηρίου που "εξουδετερώνει" το βάρος. Έτσι το κατώτερο τμήμα του ελατηρίου για κάποιο μικρό χρονικό διάστημα αιωρείται. Είναι χαρακτηριστικό ότι η τιμή της σταθεράς k των ελατηρίων που χρησιμοποιούνται στα πειράματα είναι μικρή, οπότε μικρή είναι και η ταχύτητα διάδοσης μιας διαταραχής σ' αυτά...
Μια αναλυτική μελέτη του φαινομένου μπορείτε να διαβάσετε ΕΔΩ: arxiv.org/pdf/1110.4368v1.pdf

Τα διαγράμματα κίνησης μιας περιστρεφόμενης δοκού

(οποιαδήποτε ομοιότητα με άλλα προβλήματα ΔΕΝ είναι τυχαία)

Ομογενής και ισοπαχής δοκός (ΟΑ) μάζας Μ=6kg και μήκους ℓ=0,3m, μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το ένα άκρο της Ο. Στο άλλο άκρο Α υπάρχει στερεωμένη μικρή σφαίρα μάζας m=M/2=3kg.
Η δοκός είναι ακίνητη και την χρονική στιγμή t=0 s στο άκρο της Α ασκείται δύναμη σταθερού μέτρου F=30√3 N που είναι συνεχώς κάθετη στη δοκό, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις συναρτήσει του χρόνου:
(α) της γωνίας θ που σχηματίζει η δοκός με την κατακόρυφο
(β) της γωνιακής ταχύτητας της δοκού
και
(γ) της γωνιακής επιτάχυνσης της δοκού
(δ) να γίνουν επίσης οι γραφικές παραστάσεις της γωνιακής ταχύτητας και της γωνιακής επιτάχυνσης συναρτήσει της γωνίας θ.
Δίνεται η ροπή αδράνειας ομογενούς δοκού μάζας Μ και μήκους ℓ, ως προς άξονα που διέρχεται από το σημείο Ο: Ι_O=Mℓ²/3 και η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της γης g=10m/s²

Λύση
(α) Εφαρμόζουμε τον θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης:

Στ= Ι_O dω/dt

ή

F ℓ - M g ημθ ℓ/2 – m g ημθ ℓ = Ι_O dω/dt

Αντικαθιστώντας παίρνουμε

dθ²/dt² = 20√3 – 40 ημθ

Aυτή είναι η διαφορική εξίσωση της κίνησης, η επίλυση της οποίας μας δίνει τα παρακάτω διαγράμματα…

 Η συνάρτηση θ(t) στα πρώτα 5 δευτερόλεπτα της κίνησης

Η συνάρτηση θ(t) στα πρώτα 2 δευτερόλεπτα της κίνησης

Η γωνιακή ταχύτητα της δοκού συναρτήσει του χρόνου για τα πρώτα 5 δευτερόλεπτα της κίνησης.

Η γωνιακή ταχύτητα της δοκού συναρτήσει του χρόνου για τα πρώτα 2 δευτερόλεπτα της κίνησης. Μετράμε 8 τοπικά μέγιστα σ’ αυτό το χρονικό διάστημα.

Η γωνιακή επιτάχυνση συναρτήσει του χρόνου για τα πρώτα 2 sec. Μετράμε 16 μηδενισμούς της επιτάχυνσης που αντιστοιχούν στα 8 τοπικά μέγιστα και 8 τοπικά ελάχιστα του προηγούμενου διαγράμματος

Στη συνέχεια ακολουθούν τα διαγράμματα της γωνιακής ταχύτητας και της γωνιακής επιτάχυνσης συναρτήσει της γωνίας θ.

Η ω(θ) μπορεί να προκύψει εύκολα εφαρμόζοντας την διατήρηση της ενέργειας
και αντικαθιστώντας παίρνουμε

Η γωνιακή ταχύτητα συναρτήσει της γωνίας θ (από 0 έως 50 rad που «διανύονται» σε περίπου 2 s)

Η γωνιακή ταχύτητα συναρτήσει της γωνίας θ (από 0 έως 390 rad που «διανύονται» σε περίπου 5 s)

Η γωνιακή επιτάχυνση συναρτήσει της γωνίας θ προκύπτει αμέσως από την διαφορική εξίσωση της κίνησης

dθ²/dt² = ω'=20√3 – 40 ημθ

Παρατηρούμε ότι η επιτάχυνση μηδενίζεται για πρώτη φορά όταν θ=π/3. Τότε η γωνιακή ταχύτητα (άρα και η κινητική ενέργεια) της δοκού εμφανίζει το πρώτο τοπικό μέγιστο. . . Aυτό φαίνεται στο επόμενο διάγραμμα ω-t

To πρώτο μέγιστο στο διάγραμμα γωνιακής ταχύτητας - χρόνου 

(*) Όλοι οι παραπάνω υπολογισμοί και τα διαγράμματα έγιναν χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα Mathematica. Θα μπορούσε κανείς να χρησιμοποιήσει και τον ιστότοπο της wolframalpha και να κάνει εύκολα παρόμοιους υπολογισμούς. Για παράδειγμα η κινητική ενέργεια της δοκού συναρτήσει της γωνίας θ υπολογίζεται - βλέπε παραπάνω - από την εξίσωση που εκφράζει τη διατήρηση της ενέργειας

Η γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης (και οποιοσδήποτε άλλος υπολογισμός) γίνεται πολύ εύκολα ΕΔΩ 

Γιατί χύνεται ο καφές όταν περπατάμε: η ερμηνεία της φυσικής

Μια δυνατή υποψηφιότητα για το βραβείο Ig Nobel Φυσικής αποτελεί η έρευνα του μηχανολόγου μηχανικού του πανεπιστημίου της Καλιφόρνιας Rouslan Krechetnikov και του μεταπτυχιακού φοιτητή Hans Mayer. Οι δυο ερευνητές αποφάσισαν να μελετήσουν τις αναταραχές του καφέ σε μια κούπα, όταν σε ένα συνέδριο δυναμικής ρευστών έβλεπαν τους συμμετέχοντες να προσπαθούν με δυσκολία να μεταφέρουν τα ποτά τους - και πολλές φορές να συμβαίνουν αστεία ατυχήματα.
Συνειδητοποίησαν ότι η φυσική δεν ήταν απλή. Εκτός από τη μηχανική του ανθρώπινου βαδίσματος, η οποία εξαρτάται από την ηλικία, την υγεία και το φύλο του ατόμου, σημαντικό ρόλο παίζει η φυσική που εξετάζει την κίνηση του ρευστού (ο καφές στην προκειμένη περίπτωση), σε σχέση με τις δυνάμεις, τις ροπές και τις επιταχύνσεις που υπεισέρχονται.
Επιστρέφοντας στο εργαστήριό τους οι Krechetnikov και Mayer δεν έχασαν χρόνο, σχεδίασαν και εκτέλεσαν ένα πείραμα: Ζήτησαν από ένα άτομο να περπατήσει με διαφορετικές ταχύτητες σε ευθεία πορεία με μια γεμάτη κούπα καφέ στο χέρι. Μια κάμερα κατέγραφε την κίνηση του ατόμου, ενώ ένας μικροσκοπικός αισθητήρας στην κούπα κατέγραφε την στιγμή της διαρροής.
Η ελεύθερη ταλάντωση μπρος – πίσω ενός ρευστού έχει μια συγκεκριμένη ιδιοσυχνότητα που καθορίζεται από το μέγεθος του δοχείου που το περιέχει. Η εργασία των Krechetnikov και Mayer στο Physical Review E , δείχνει ότι το συνηθισμένο μέγεθος μιας κούπας καφέ τυχαίνει να ταιριάζουν με τις συχνότητες που δημιουργούνται από την κίνηση των κάτω άκρων του ατόμου που βαδίζει. Αυτό σημαίνει ότι και μόνο το περπάτημα, χωρίς άλλη παρέμβαση, μπορεί να οδηγήσει την ταλάντωση του καφέ σε συντονισμό – που σημαίνει ταλάντωση με το μέγιστο πλάτος και μεγάλη πιθανότητα να χυθεί ο καφές. Οι ερευνητές διαπίστωσαν επίσης ότι και μικρές αποκλίσεις από το κανονικό περπάτημα μπορούν να ενισχύσουν την κίνηση του ρευστού αυξάνοντας κι άλλο την πιθανότητα «ατυχήματος».
Πως μπορούμε να αποφύγουμε την διαρροή του καφέ από τη κούπα μας καθώς περπατάμε; Ξεκινώντας το περπάτημά μας αργά – που σημαίνει μικρή επιτάχυνση και αφήνοντας την κατάλληλη απόσταση μεταξύ της επιφάνειας του καφέ από το χείλος της κούπας. Αυτό πρέπει να είναι τουλάχιστον το 1/8 της διαμέτρου μιας συνηθισμένης κούπας .... (για περισσότερες τεχνικές λεπτομέρειες: Walking with coffee: Why does it spill? )
Ωστόσο, ο φυσικός Andrzej Herczynski από το Boston College ασκεί «δρυμεία» κριτική στην εργασία των Krechetnikov και Mayer, διότι δεν προχώρησε αρκετά, δηλώνοντας:
«Προσωπικά έχω απογοητευθεί από την μελέτη διότι περιορίζεται σε κυλινδρικές κούπες ... αφήνοντας έξω τα διαφορετικού σχήματος φλυτζάνια που χρησιμοποιούνται για τον καπουτσίνο στην Ιταλία».
Παρόλα αυτά, η έρευνα αυτή μάλλον κερδίζει το βραβείο Ig Nobel.
news.sciencemag.org

Άλμα κυλίνδρου καθώς κυλίεται σε κεκλιμένο επίπεδο

Ένας κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε ένα κεκλιμένο επίπεδο. Αφού διανύσει κάποια απόσταση βλέπουμε ότι κύλινδρος αναπηδά! Επιπλέον, όσο μεγαλύτερη είναι η κλίση του κεκλιμένου επιπέδου τόσο γρηγορότερα αναπηδά. Γιατί συμβαίνει αυτό;


http://youtu.be/ITQYHU2ekMM

Δεν είναι οφθαλμαπάτη, συμβαίνει στην πραγματικότητα. Ο κύλινδρος χάνει την επαφή του με το κεκλιμένο επίπεδο γιατί το κέντρο μάζας του κυλίνδρου δεν βρίσκεται πάνω στον γεωμετρικό άξονα του κυλίνδρου. Πρόκειται για μια περίπτωση που σπάνια αναλύεται στα βιβλία κλασικής Μηχανικής (στο πρόβλημα 5, σελ. 103, Mechanics - L. D. Landau and E. M. Lifshitz εξετάζεται μια τέτοια περίπτωση κύλισης, αλλά σε οριζόντιο επίπεδο). Μπορείτε να διαβάσετε την πλήρη ανάλυση του πειράματος ΕΔΩ

Υπερνικώντας την γήινη βαρύτητα

Σταχτοπετρόκλης, ένας ιπτάμενος μετανάστης κατηγορίας φτερού
Είναι μικρότερος κι από καχεκτικό σπουργίτι, κι όμως μπορεί να πετά από την Αρκτική μέχρι την Αφρική και πίσω, ένα ταξίδι συνολικής απόστασης 29.000 χιλιομέτρων. Είναι ο σταχτοπετρόκλης, ένα μεταναστευτικό πουλί που εντυπωσίασε τους ορνιθολόγους με την αντοχή του.

«Αν λάβει κανείς υπόψη το μέγεθος του σώματός, πρόκειται για ένα από τα μακρύτερα μεταναστευτικά ταξίδια για οποιοδήποτε πτηνό, το οποίο εγείρει ερωτήματα για το πώς ένα πουλί αυτού του μεγέθους μπορεί να ολοκληρώνει μια τόσο απαιτητική διαδρομή δύο φορές το χρόνο» γράφουν οι ερευνητές στο Biology Letters, μια επιθεώρηση της Βασιλικής Εταιρείας της Βρετανίας.

O σταχτοπετροκλής (Oenanthe oenanthe), με βάρος γύρω στα 25 γραμμάρια, περνά το καλοκαίρι τρώγοντας έντομα και ανατρέφοντας τα μικρά του στην τούνδρα του Βορείου Ημισφαιρίου, από τη Σιβηρία μέχρι την Αλάσκα. Όταν έρθει το φθινόπωρο, πετά περίπου 14.500 χιλιόμετρα μέχρι την Αφρική.

Διεθνής ερευνητική ομάδα χαρτογράφησε για πρώτη φορά το ταξίδι αλέ-ρετούρ, τοποθετώντας μικροσκοπικούς ραδιοπομπούς στα πόδια 46 πουλιών που αιχμαλωτίστηκαν στην Αλάσκα και το νησί Μπάφιν του βορειοανατολικού Καναδά.

Διανύοντας κατά μέσο όρο 290 χιλιόμετρα την ημέρα, οι σταχτοπετρόκληδες του Καναδά πέταξαν ανατολικά πάνω από τον Βόρειο Ατλαντικό, κινήθηκαν μετά νότια πάνω από την Ευρώπη και τη Μεσόγειο, πέρασαν πάνω από τη Σαχάρα και κατέληξαν στις ακτές της Μαυριτανίας.

Το ταξίδι μέχρι την Αφρική διήρκεσε 26 ημέρες, ενώ η πτήση της επιστροφής την επόμενη άνοιξη πήρε 55 ημέρες.

Αυτό σημαίνει ότι ο σταχτοπετρόκλης χρειάζεται μόλις 81 ημέρες για να πετάξει σχεδόν το γύρο του κόσμου.

Newsroom ΔΟΛ - dailymail.co.uk

Η μετατόπιση στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση

H σειρά Taylor γύρω από το σημείο x=α περιγράφεται από την εξίσωση

Η σειρά Maclaurin είναι η σειρά Taylor γύρω από το σημείο x=0

Έστω ότι η συνάρτηση που αναπτύσσεται σε σειρά Maclaurin είναι η μετατόπιση x(t) μιας μονοδιάστατης επιταχυνόμενης κίνησης. Τότε (δεδομένου ότι τώρα η ελεύθερη μεταβλητή είναι ο χρόνος t) θα έχουμε:

Η παραπάνω εξίσωση είναι η εξίσωση της μετατόπισης στην πιο γενική μορφή επιταχυνόμενης κίνησης (σε μια διάσταση).
Για παράδειγμα στην περίπτωση της ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης θα ισχύει:

διότι
• έστω ότι το σώμα τη χρονική στιγμή t=0 βρίσκεται στη θέση x(0)=0
• η πρώτη παράγωγος της μετατόπισης (ο ρυθμός μεταβολής της μετατόπισης) την χρονική στιγμή t=0 είναι η αρχική ταχύτητα:

• και η δεύτερη παράγωγος της μετατόπισης ή η πρώτη παράγωγος της ταχύτητας (ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας) είναι η επιτάχυνση:

• η παράγωγοι ανώτερης τάξης (εφόσον η δεύτερη παράγωγος είναι σταθερή) θα είναι μηδέν

και έτσι προκύπτει η παγκοσμίως γνωστή στους μαθητές της Α’Λυκείου εξίσωση της μετατόπισης στη ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση

Διαβάστε επίσης (σχετικά με την εφαρμογή της σειράς Taylor στη φυσική): Η ατέρμονη επανάληψη του αρμονικού ταλαντωτή

Αυτοκίνητο σε κεκλιμένο επίπεδο

Μια ωραία ερώτηση απλής φυσικής

Ένα αυτοκίνητο τη χρονική στιγμή t βρίσκεται στον ανηφορικό δρόμο του σχήματος και η κατεύθυνση της επιτάχυνσής του είναι προς τα πάνω.
Ποιες από τις παρακάτω διατυπώσεις περιγράφει την κίνηση του σώματος τη χρονική στιγμή t;
Α. Το σώμα κινείται προς τα πάνω
Β. Το σώμα κινείται προς τα κάτω
Γ. Το σώμα είναι ακίνητο
Δ. Τόσο το Α όσο και το Β είναι πιθανά
Ε. Τόσο το Α όσο και το Γ είναι πιθανά
ΣΤ. Και οι τρεις πρώτες περιπτώσεις (Α, Β και Γ) είναι πιθανές

(update)
H παραπάνω ερώτηση (καθώς επίσης και άλλες ερωτήσεις και απαντήσεις) περιέχονται στην εργασία:"Systematic study of student understanding of the relationships between the directions of force, velocity, and acceleration in one dimension", που δημοσιεύθηκε στο PHYSICAL REVIEW SPECIAL TOPICS - PHYSICS EDUCATION RESEARCH

Προσομοίωση εξαναγκασμένης ταλάντωσης και συντονισμού

Για την "πειραματική μελέτη" της εξαναγκασμένης ταλάντωσης κάντε κλικ στο παρακάτω εικονίδιο. Παρατηρήστε τα μεταβατικά φαινόμενα, την εξέλιξη της ταλάντωσης για διάφορες τιμές των παραμέτρων, το φαινόμενο του συντονισμού κ.λ.π.

Click to Run

Mια “παράδοξη” περίπτωση φθίνουσας ταλάντωσης

Η φθίνουσα ταλάντωση είναι μια ρεαλιστική περίπτωση ταλάντωσης στην οποία παίρνουμε υπόψη τις απώλειες ενέργειας εξαιτίας των τριβών, αντίστασης του αέρα κ.λ.π.
Η μελέτη αυτής της ταλάντωσης στα βιβλία Φυσικής γίνεται θεωρώντας ότι η δύναμη απόσβεσης ανάλογη της ταχύτητας:

όπου b η σταθερά απόσβεσης.
Μέσω της δύναμης αυτής η μηχανική ενέργεια του συστήματος που ταλαντώνεται μετατρέπεται σε θερμική και το τελικό αποτέλεσμα είναι η ταλάντωση σε κάποια στιγμή να σταματήσει.

Οι γραφικές παραστάσεις της απομάκρυνσης και της ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου στην "συνήθη" περίπτωση φθίνουσας ταλάντωσης

Άραγε τι θα συνέβαινε αν η δύναμη απόσβεσης ήταν ανάλογη της απομάκρυνσης, δηλαδή

Αυτό σημαίνει ότι όσο απομακρυνόμαστε από την θέση ισορροπίας, η δύναμη απόσβεσης αυξάνεται ανάλογα με την απόσταση από τη θέση ισορροπίας και ακριβώς πάνω στη θέση ισορροπίας (x=0) η δύναμη απόσβεσης θα μηδενίζεται.

"Η δύναμη F_b είναι δύναμη απόσβεσης, δηλαδή αντιστέκεται στην κίνηση, μετατρέποντας την μηχανική ενέργεια σε θερμική και το τελικό αποτέλεσμα θα είναι ο τερματισμός της ταλάντωσης."
Όμως ....
η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα στην περίπτωση αυτή είναι

όπου D=(k+b).
H παραπάνω συνθήκη είναι η ικανή και αναγκαία συνθήκη έτσι ώστε ένα σώμα να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση....
Ή χρησιμοποιώντας την μαθηματική γλώσσα, η διαφορική εξίσωση της κίνησης θα είναι

της οποίας η λύση είναι η γνωστή λύση της αμείωτης ταλάντωσης:

x(t)=Asin(ωt + φ)

με

Δηλαδή η ταλάντωση δεν σταματάει ποτέ!!

 Πως ερμηνεύεται αυτό το παράδοξο;;; 
.........................................................
.........................................................
Προφανώς δεν υπάρχει κανένα παράδοξο παρά ένα παιχνίδι με τις λέξεις και τον συμβολισμό.
Απλά, η δύναμη

δεν είναι δύναμη απόσβεσης, αλλά μια δύναμη που κάνει ακριβώς την ίδια δουλειά με τη δύναμη του ελατηρίου.
Δεν είναι τυχαίο που στην φθίνουσα ταλάντωση επιλέγουμε τη δύναμη απόσβεσης αντίθετη της ταχύτητας

διότι έτσι εξασφαλίζεται το γεγονός ότι θα είναι συνεχώς αντίθετη της ταχύτητας, δηλαδή θα αντιστέκεται πράγματι στην κίνηση του σώματος.
Αν για παράδειγμα  ήταν ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας τότε το πρόσημο (-) δεν θα εξασφάλιζε από μόνο του την απαίτηση η δύναμη απόσβεσης να είναι συνεχώς αντίθετη της ταχύτητας.
Αλλά ας επιστρέψουμε στην αρχική περίπτωση θεωρώντας το μέτρο της δύναμης απόσβεσης ανάλογο της απομάκρυνσης

και επιπλέον την κατεύθυνσή της να είναι συνεχώς αντίθετη της ταχύτητας. Τότε γίνεται μια αληθινή δύναμη απόσβεσης που φρενάρει την ταλάντωση του σώματος.

Και τώρα τίθενται νέα ερωτήματα.
Για παράδειγμα, ποια θα είναι η περίοδος αυτής της φθίνουσας ταλάντωσης και πως περιγράφεται η απομάκρυνση και η ταχύτητα του σώματος συναρτήσει του χρόνου;;