ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
1. Εισαγωγή
2. Το μέλαν σώμα είναι το φωτεινότερο σώμα
3. Τα μεγέθη που περιγράφουν την ακτινοβολία του μέλανος σώματος
4. Η ερμηνεία της ακτινοβολίας του μέλανος σώματος
5. Η απόδειξη του νόμου των Rayleigh – Jeans
6. Η απόδειξη του νόμου Planck
7. Η ακτινοβολία μέλανος σώματος σ’ ένα διαστελλόμενο σύμπαν
1. Εισαγωγή
Όταν ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα προσπίπτει στην επιφάνεια σώματος, ένα μέρος της ενέργειάς του απορροφάται, με αποτέλεσμα την αύξηση της εσωτερικής ενέργειας και της θερμοκρασίας του σώματος. Αντιστρόφως, ένα θερμό σώμα που δεν βρίσκεται σε επαφή με άλλα σώματα ή τον αέρα, ψύχεται, εκπέμποντας θερμική ενέργεια υπό μορφή ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων.
Η θερμότητα δηλαδή μπορεί να διαδίδεται και στο κενό.
Ως
θερμική ακτινοβολία θα θεωρούμε την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία που εκπέμπουν τα σώματα
εξαιτίας της θερμοκρασίας τους.
Πολλές φορές θεωρείται ότι η θερμική ακτινοβολία είναι μόνον η υπέρυθρη ακτινοβολία, που είναι εντελώς λάθος, διότι η θερμική ακτινοβολία μπορεί να αποτελείται από οποιοδήποτε μήκος κύματος.
Όταν ο ρυθμός με τον οποίο εκπέμπεται η θερμική ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία από ένα σώμα είναι ίσος με τον ρυθμό που απορροφάται και η θερμοκρασία του σώματος παραμένει σταθερή τότε μπορούμε να πούμε ότι
το σώμα βρίσκεται σε θερμική ισορροπία με την ακτινοβολία.
Η πειραματική μελέτη της ακτινοβολίας που βρίσκεται σε ισορροπία με την ύλη γίνεται ως εξής:
Θεωρούμε το εσωτερικό μιας κοιλότητας ενός σώματος με σταθερή θερμοκρασία. Εξαιτίας της θερμικής κίνησης των φορτισμένων σωματιδίων του υλικού των τοιχωμάτων της κοιλότητας εκπέμπεται ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία.
Η παγιδευμένη στην κοιλότητα ακτινοβολία αλληλεπιδρά με τα φορτισμένα σωματίδια μεταβιβάζοντας σ’ αυτά ενέργεια.
Όταν ο ρυθμός απορρόφησης ενέργειας από τα τοιχώματα είναι ίσος με τον ρυθμό εκπομπής, τότε έχει επιτευχθεί θερμική ισορροπία μεταξύ ύλης και ακτινοβολίας.
Ανοίγοντας μια οπή στην κοιλότητα, μικρή ως προς τις διαστάσεις της κοιλότητας, τότε η ακτινοβολία «ισορροπίας» που διαφεύγει δεν επηρεάζει την ισορροπία και μπορούμε να μελετήσουμε τις ιδιότητές της.
Για έναν εξωτερικό παρατηρητή η μικρή οπή εμφανίζεται ως επιφάνεια ενός απόλυτα μαύρου σώματος. Μια τέτοια επιφάνεια μπορεί να απορροφά και να εκπέμπει όλα τα μήκη κύματος του φάσματος της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας. Για τον λόγο αυτό η ακτινοβολία που εξέρχεται από την κοιλότητα ονομάζεται
ακτινοβολία μέλανος σώματος.
Η μελέτη του τρόπου με τον οποίο το ονομαζόμενο μέλαν σώμα εκπέμπει θερμική ακτινοβολία έπαιξε τεράστιο ρόλο στην εξέλιξη της φυσικής και σηματοδότησε την έναρξη της κβαντικής εποχής.
Το αντίθετο του μέλανος σώματος προφανώς θα είναι το «λευκό». Όσο περισσότερη ακτινοβολία ανακλά ένα σώμα τόσο λιγότερη απορροφά, και τόσο πιο φωτεινό φαίνεται.
Θεωρούμε ένα σώμα φωτεινό όταν εκπέμπει αρκετή ακτινοβολία (στην ορατή ή οποιαδήποτε άλλη περιοχή του φάσματος). Όμως μπορεί κανείς να οδηγηθεί στο συμπέρασμα ότι το «μελανό» είναι και «σκοτεινό» και μάλιστα όσο πιο μελανό είναι ένα σώμα τόσο σκοτεινότερο είναι. Αυτό είναι τεράστιο λάθος.
Όπως θα δούμε στη συνέχεια το ιδανικό μέλαν σώμα είναι το φωτεινότερο όλων των σωμάτων.
2. Το μέλαν σώμα είναι το φωτεινότερο σώμα.
Η ανάλυση της σχέσης μεταξύ των ιδιοτήτων εκπομπής και απορρόφησης διαφόρων σωμάτων οδήγησε τον Kirchhoff σε ένα σημαντικό συμπέρασμα, γνωστό
ως νόμος του Kirchhoff:
όσο περισσότερη ακτινοβολία απορροφά ένα σώμα σε δεδομένη θερμοκρασία τόσο περισσότερη ακτινοβολία εκπέμπει. Δηλαδή, όσο πιο μελανό τόσο και πιο φωτεινό είναι. Για να εκφράσουμε μαθηματικά τον παραπάνω νόμο, πρέπει να ορίσουμε την απορροφητικότητα και την ένταση της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας.
Η
απορροφητικότητα (ή συντελεστής απορρόφησης) ενός σώματος,
Aλ,Τ, για δεδομένο μήκος κύματος
λ και δεδομένη απόλυτη θερμοκρασία
Τ, είναι το κλάσμα της ισχύος που απορροφά το σώμα προς αυτήν που πέφτει πάνω του:
Ο συντελεστής απορρόφησης είναι καθαρός αριθμός, και για διάφορα σώματα παίρνει τιμές από 0 έως 1. Η τιμή του είναι 0 για το απολύτως λευκό σώμα (ή για τον τέλειο ανακλαστήρα - το ιδανικό κάτοπτρο. Η απολύτως λευκή επιφάνεια διαχέει ομοιογενώς προς όλες τις κατευθύνσεις τις προσπίπτουσες ακτίνες, ενώ το ιδανικό κάτοπτρο τις ανακλά σε κατεύθυνση που προσδιορίζεται από τη γωνία πρόσπτωσης) και 1 για το ιδανικό μέλαν σώμα.
Η συνάρτηση φασματικής κατανομής της αφετικής ικανότητας Ιλ,Τ ή
η ένταση της ακτινοβολίας που εκπέμπει ένα σώμα με μήκη κύματος μεταξύ
λ και
λ+Δλ και δεδομένη απόλυτη θερμοκρασία
Τ, είναι η ισχύς που εκπέμπει η μονάδα επιφάνειας του σώματος ανά
Δλ στην περιοχή πλησίον του
λ:
Έστω ότι διαθέτουμε ένα πλήθος σωμάτων με διαφορετική απορροφητικότητα
Aλ,Τ (μεταξύ των σωμάτων αυτών το ιδανικό μέλαν σώμα και το ιδανικό λευκό σώμα). Θερμαίνουμε τα σώματα στην ίδια θερμοκρασία
Τ.
Τότε σύμφωνα με το νόμο του Kirchhoff, τα σώματα δεν θα εκπέμπουν την ίδια ακτινοβολία:
το φωτεινότερο θα είναι το ιδανικό μέλαν σώμα, ενώ το ιδανικό λευκό σώμα θα είναι απολύτως σκοτεινό. Μπορούμε για το ιδανικό μέλαν σώμα να συμβολίσουμε την απορροφητικότητα και την ένταση εκπομπής με ιδιαίτερα σύμβολα:
Είναι σημαντικό ότι το ιδανικό μέλαν σώμα όχι μόνο εκπέμπει τη μέγιστη ακτινοβολία σε δεδομένη θερμοκρασία, αλλά επιπλέον χαρακτηρίζεται από μια αυστηρά καθορισμένη φασματική σύνθεση. Με άλλα λόγια , η
iλ,Τ είναι μια οικουμενική συνάρτηση των
λ και
Τ. Σύμφωνα με τα παραπάνω,
ο νόμος του Kirchhoff μπορεί να γραφεί ως εξής:
Έγιναν πολλές προσπάθειες για να υπολογιστεί η συνάρτηση
iλ,Τ θεωρητικά. Τελικά, όπως θα δούμε στη συνέχεια, το κατάφερε ο Max Planck, το 1900:
όπου
c η ταχύτητα του φωτός στο κενό,
k η σταθερά Boltzmann και
h η σταθερά Planck.
Όταν η θερμοκρασία
T ενός σώματος διατηρείται σταθερή, τα μεγέθη
A,
I και
i εξαρτώνται μόνον από το μήκος κύματος
λ, οπότε μπορούμε να τα συμβολίζουμε με
Αλ και
iλ.
Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης του Planck για δυο θερμοκρασίες Τ
1=2000Κ, Τ
2=3000Κ.
Παρόμοιο (σε διαφορετική κλίμακα) είναι και το επόμενο σχήμα....